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[几何] 一些平面几何

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-20 23:58 编辑

1.ABCD是一个圆内接四边形,M是CD中点,点N满足AMBN是调和四边形,E是直线AC,BD的交点,F是直线AD,BC交点,证明EFN共线
2.∆ABC的外接圆与A-旁切圆的两条外公切线交BC于X,Y,证明∠BAX=∠CAY
3.${P_B},{P_C},{M_B},{M_C}$为$\triangle$ABC对应边上的高线足和中点,${{\rm{M}}_{\rm{B}}}{M_C},{{\rm{P}}_{\rm{B}}}{P_C}$交于${{\rm{S}}_{\rm{A}}}$,A-外类似中线交BC于${{\rm{T}}_{\rm{A}}}$,证明:AV$ \bot {{\rm{S}}_{\rm{A}}}{T_A}$(V是九点圆圆心)
4.在凸四边形ABCD中,AC,BD交于P,延长BA,CD交于E,延长DA,CB交于F,圆$ω_1$过D且与AC切于P,与AD再次交于X,圆$ω_2$过C且与BD切于P,与BC再次交于Y.设$\omega_1,\omega_2$再次交于Q,证明:P与∆XQY的外心的连线⊥EF.
5.过A任作圆ω交AC,AB于E,F,圆ω'是ω关于$\angle$BAC平分线的对称象,ω交外接圆于T,求证:ω'与AT相切

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2020-1-21 12:41

剩下一些没整理的先留下
未命名1.gsp (57.77 KB)
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-21 13:53 编辑

6.点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,AD、BE、CF交于同一点G, EF、AD相交于H.以DH
为直径作圆交直线BE于S、T两点,求证: |AS - AT|= DH|cos∠BGD| .
法①AHGD调和,Stewart
法②AHGD调和,圆I是AG的阿氏圆,$\triangle ITG\sim\triangle IAT≌\triangle IAJ\sim\triangle IGS$.ASTI共圆
7.见图
8.设P是凸四边形ABCD的对角线交点,若PAB,PBC,PCD,PDA四个三角形内切圆半径相等,求证ABCD是菱形
9.见图
10.见图

6

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2020-1-20 21:40

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2020-1-21 13:52

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2020-1-21 13:52

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-21 12:49 编辑

回复 1# hbghlyj
将第5题推广到了一般情形,替换了原题。原来这是一道简单题。
△TFE'∽△TBC',$\angle EAF=\angle ETF,AF'\bullet TE=BF\bullet TE=CE\bullet TF=AE'\bullet TF$,△TEF∽△AE'F',$\angle TAF=\angle TEF=\angle AE'F'$,所以AT是$\omega'$的切线

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-18 14:13 编辑

11.在△ABC中,ω是内切圆,点$O_1$是$A_2A_3$中点,过点A且垂直于BC的直线与过点M且垂直于AI的直线交于K.证明:以AK为直径的圆与圆ω相切,切点在$AX_8$上.($X_1$是内心,$X_8$是奈格尔点)
证明:(by qzc)设$I_1$为$A_2A_3$上切点,$I_1'$为对径点,$A_1I_1$交$\odot X_1$于T,熟知$O_1T$为$\odot X_1$切线,延长$O_1X_1$交$A_1K$于点U,熟知$O_1X_1$平分$A_1I_1$,又$A_1U\parallel X_1l_1$,故$A_1X_1\parallel Ul_1$,所以$UI_1⊥O_1K$,所以$I_1$是$UO_1K$垂心,$KI_1⊥UO_1$,故$KI_1T$共线,所以T是$\triangle I_1'SI_1$和$\triangle A_1LK$的位似中心,它在$\odot X_1$上,故两圆相切
12.设I、H分别是△ABC的内心和垂心,直线$l_a$过BC的中点且垂直于AI .类似地定义直线$l_b,l_c$,求证:直线$l_a,l_b,l_c$构成的三角形的外心是IH的中点.
13.在△ABC中,AN,IC,BW是角平分线,Q,R,S分别为其中点,以AB,AC,BC分别作圆c[1],c[2],c[3],连接BQ,QC,AR,RB,AS,SC分别交c[2],c[1],c[3],c[2],c[3],c[1]于K,M,H,Y,G,Z,六点在BC,AB,AC上的射影分别为J,O,U,T,V,X连接KO,MJ交于F,连接TH ,UY交于D,连接VZ,XG交于E。求证:△ABC的欧拉线与△FED的夹角恒不大于30度。
14.P为完全四边形ABCDEF的密克点,D为对角线AD,BF的交点,PG交$\odot$AFC于H,AHFI是平行四边形 ,求证:$\angle$CIF=$\angle$CDE
15.见图

11

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2020-1-23 11:11

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2020-1-27 21:37

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2020-5-18 14:13
反演就行了
关于根心

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 00:03 编辑

16.△ABC中,AH, CD为两条高. P在BC上, Q, R在AB, AC上且PQ=PD, PR=PC.求证:ARHQ四点共圆
17.$\triangle$ABC中,AC=BC,$\angle$BAC=70°,D在AC上,AB=BD,E在边BC上,BE=CD,求证:$\angle$BDE=50°
证明:作△CDB外心O,则有∠DOB=2∠C=80°,而∠COD=2∠CBD=60°,故△COD是等边三角形,故BE=CD=OC=OB,又2∠EBO=∠DBO-∠DBC=50°-30°=20°,故∠BOE=80°=∠BOD,也即DEO共线,于是∠BDE=∠BDO=50°
18.见图
20.2011ImoShortlistG6
$\triangle$ABC,AB=AC,D是AC的中点,∠BAC平分线与$\odot$DBC相交于$\triangle$ABC内的点E,直线BD交$\odot$AEB于B,F,直线AF,BE交于I,直线CI,BD交于K,证明I是$\triangle$KAB的内心。
证明:取AB,BC中点H,J,由对称性HE=ED,BI平分$\angle$ABD,$\angle FAE=\angle FBE=\angle ABE,\angle AFD=180°-\angle AFB=180°-\angle AEB=\angle BAJ+\angle ABE=\angle CAJ+\angle FAE=\angle FAC,$AD=DF,$\triangle$ABD$\sim\triangle$KAD,AI平分$\angle BAK$,I是$\triangle$KAB的内心。

16

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2020-1-28 01:13

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2020-1-28 01:17

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2020-1-30 21:53

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2020-1-30 23:33

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-18 12:29 编辑

21.定义映射平面上四点O,A,B,C到一点的映射f如下:以A,B,C为圆心过O作圆,圆B,C;C,A;A,B交于P,Q,R,易证$\odot$BCP,CAQ,ABR共点,记为f(O,A,B,C).对于平面上五点A,B,C,D,O,
证明:ABCD共圆$\Leftrightarrow$f(O,A,B,C),f(O,B,C,D),f(O,C,D,A),f(O,D,A,B)共圆
22.
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2020-5-18 12:29
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2020-4-24 13:09

23.
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2020-5-18 12:27

推广:
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2020-5-18 12:27

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 00:18 编辑

26.设P,Q是一对等角共轭点,垂心为H,过H作AP的垂线交BC于T,P关于BC的对称点为P',求证:P'H$\bot$QT
27.28.29.30.见图

26

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2020-2-9 11:52

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2020-3-14 00:20

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2020-3-14 23:20

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平面几何2020.3.14.jpg
2020-3-14 23:21

△ABC中,内切圆为$\odot$l,内切圆在各边上的切点与对顶点的连线三线共点于R,$\omega_a,\omega_b,\omega_c$分别是过B、C且与$\odot$I相切的圆,过C、A且与$\odot$I相切的圆,过A、B且与$\odot$I相切的圆,点U、V、Y、Z、W、X分别是$\omega_a$与AB、$\omega_a$与AC、$\omega_b$与BC、$\omega_b$与BA、$\omega_c$与CA、$\omega_c$与CB的交点(均不同于点A、B、C)设点L、M、N分别是直线UV、YZ、WX关于$\odot$I的极点.证明:AL、BM、CN、IR四线共点.

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31.$\odot O$是△ABC外接圆,D是AB上一点,G是AD中点,H是DB中点,EG⊥AB交AC于E,FH⊥ AB交BC于F,DN⊥EF交EF于M,交$\odot O$于N,求证: NM=MD

31

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2020-3-16 00:02
We are fools,we love math

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回复 8# hbghlyj
没证出来,但发现一些有趣……
如图:
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2020-3-17 02:32

    $ \triangle ABC $,$ D $为$ AB $上一点,$ AD $的垂直平分线交$ AC $于$ E $,$ DB $的垂直平分线交$ BC $于$ F $,$ G、H、P、Q $分别为$ AD、DB、AC、BC $的中点,$ O $为$ \triangle ABC $外接圆圆心,$ K $为$ EF $与$ PQ $的交点。则有:(1)$ OK\perp EF $且$ EOFC $四点共园(2)$ DE\px HK $

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本帖最后由 乌贼 于 2020-3-17 13:28 编辑

如图:
212.png
2020-3-17 13:26

延长$ ND $交外接圆于$ Q $,取$ DQ $中点$ P $。连接$ AN 、BN、ED、GM、MH、DF、GP、PH $,有\[ \angle GMH=\angle GED+\angle DFH=\angle AEG+\angle BFH=\angle ACB=\angle ANB \]又\[ \angle GPH=\angle AQB\riff\angle GMH+\angle GPH=\angle ANB+\angle AQB=180\du  \]即$ GMHP $四点共园,故\[ \angle GMP=\angle GHP=\angle ABQ=\angle ANQ\\\riff AN\px GM\\\riff DM=MN \]复 8# hbghlyj

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-11 10:26 编辑

收集到的一些小问题,没时间研究,先堆在这里吧
32.矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E是BC边上一动点,C与C'关于AE对称,在AE上取F,使$\angle ABF=\angle C'BC$,则BE+AF的最小值为
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:32

33.$\triangle$ABC中,O是外心,H是垂心,点P和Q满足$\angle PAC=\angle QBC$,作Q关于BC的对称点Q',求$PQ'^2-HP^2$的最小值
几何2020.3.31.2.png
2020-4-2 22:32

34.E,F为圆内接四边形ABCD边BC,AD中点,AC,BD交于O,AB,CD交于P,求证:PQ是$\odot QEF$的切线
35.平面上任意P关于$\triangle ABC$的Ceva三角形为DEF,点X关于DEF的等角共轭为Y,$\Gamma$为过ABCP的等轴双曲线,则X关于$\Gamma$的极线过Y.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:39

我们立足于DEF来看,容易看出DEF的四等心均要在这锥线上,于是就转化为了如下命题:三角形ABC的一对等角共轭点P,P*,L是过II1I2I3的一条锥线,证明P关于L的极线过P*,也即要证明PP*被L调和分割,但由A(II2, PP*) =-1,容易看出II1I2I3的任一组对边调和分割PP*,由笛沙格对合定理,其外接锥线也调和分割PP*
36.已知△ABC,△PAB和△QAC是△ABC外面的两个三角形,满足AP=AB, AQ=AC及∠BAP=∠CAQ,线段BQ与CP交于点R.设△BCR的外接圆圆心为O.证明: AO⊥PO.
pic.jpg
2020-4-2 22:42

37.在$\triangle ABC$中,AC=2,BC=4,作等边$\triangle ABD$,则AB+2CD的最小值为
38.△ABC内点D,∠ABD=∠ACD,DE⊥AB,DF⊥AC,点M是BC的中点,P是EF上任意一点,MF与BP交于Q.证明: DP⊥AQ.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:51
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2020-4-2 22:57

对合.png
2020-4-3 13:15

39.设O和I分别为△ABC的外心和内心,△ABC的内切圆与边BC,CA, AB分别相切于点D, E,F,直线FD,CA相交于点P,直线ED, AB相交于点Q,点M,N分别为线段PE,QF的中点,求证: OI⊥MN.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:54
根轴
40.已知一条圆锥曲线上的五个点或者更多点,求任意一条直线和这条圆锥曲线的交点(如果存在)
要分清楚两个概念
纽堡曲线上一点可以尺规
纽堡曲线不能尺规
41.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 22:59

42.设A,B,C为抛物线$\Gamma$上三点,满足△ABC的垂心H与$\Gamma$的焦点重合.证明:无论怎样改变A, B, C在$\Gamma$上的位置,只要△ABC垂心H的位置保持不变,则△ABC的内切圆半径也保持不变.
只需证明H在三角形ABC的内切圆上,再计算HI即可
以H为中心,$-2HA\cdot HH_a$为幂的反演$\psi$将圆(A,AH),(B,BH),(C,CH)分别映射到BC,CA,AB.所以,$l$反演到三角形ABC的内切圆$\omega$,所以,H在$\omega$上(**保外接圆)
剩下余弦定理计算
$HI=\sqrt{2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C}$
43.在锐角△ABC中,AB>AC, M是边BC的中点,P是△AMC内一点,使得∠MAB=∠PAC.设△ABC,ABP,ACP的外心分别是$O,O_1,O_2$.证明:直线AO平分线段$O_1O_2$.(陪位中线 2010年CTST)
44.
几何2020.3.31.2.jpg
2020-4-2 23:16

45.
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2020-4-2 23:16

46.
几何2020.3.31.jpg
2020-4-2 23:16

47.已知P是△ABC中BA延长线上一点, 且PA=AC,直线PC再次交△ABC的外接圆于D, E 是BC中点,点F满足FA//DE、FD//AE。求证: PF⊥BC。
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2020-4-11 10:24

取弧AC中点证BGD',B'ED中心对称即得(点以我上图为准)
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2020-4-11 10:25

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-4-22 15:54 编辑

48.
几何20200413.jpg
2020-4-13 10:34

$\triangle ABC$中,点E在AB上,角平分线CD的中垂线GF交$\odot CBE,CAD$于F,G,求证DEFG共圆
证明更一般的情况∠XAY=∠XDY,O是ADE外心,XY过点O
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2020-4-13 10:38

几何20200413.png
2020-4-13 10:40

49.在凸四边形ABCD中,AB=CD,角A,B的平分线交于点K,角C,D的平分线交于点L,已知AD, BC不平行,且K≠L.证明:三条线段AD, BC, KL的垂直平分线交于一点.
几何20200413.png
2020-4-13 10:45

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2020-4-13 11:01

补一个旋转,证一个外心即得
50.$\odot$(ABC)上取一点L,R,L关于BC对称,D为R的等角共轭(已证明DA=DL),取点Z使△DZA与△DAC顺相似,W为Z的等角共轭,证明: WARL共圆。
几何20200416.png
2020-4-16 12:19

作A关于BC的对称点A',就有WBA'共线,W在一定直线上
BA平分ZBC,设出BA'和ARC的第二交点,证这就是Z的等角共轭点即可
用等角共轭中的有向角BXC+BX*C=BAC,在C侧对Z和W用一遍,再在B侧对D和R用一遍
第一次用下来会化归为证明180+ADC-ARA'=2ABC第二次用下来就变成ALC和ABC相等了
51.
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2020-4-16 23:04

△ABC垂心为H.在其外接圆上取异于A,B,C的一点P,设M为HP中点.在直线BC,CA,AB上分别取点D,E,F,使得AP∥HD,BP∥HE,CP∥HF.证明:DEFM共线.
几何.png
2020-4-16 23:06
题目本身证明就这一张图就够了,我后来想证的是OM和DEF的垂直
53.正方形ABCD,EFGA,CHIK首尾相连,L是EH中点,求证LB⊥GK
法①设AE=a,AG=a',AD=c,AB=c',CH=b,CK=b'
有 aa'=bb'=cc'=0, a²=a'², b²=b'² ,c²=c'²,a'b=ab',a'c'=-ac,a'c=ac', bc=b'c'. b'c=-bc'﹙*﹚
FH=-a+c+c'+b,$LB=\frac{FH}2-b-c=\frac{-a-c+c'-b}2$,GK=-a'+c'+c+b'
从﹙*﹚:(-a-c+c'-b)(-a'+c'+c+b')=……=0. ∴LB⊥GK
法②用全等的倍长中线做。连接EB,GD,DK,BH.延长BL至J使BL=LG,连接JH。ΔEAB≌ΔEAD,ΔBCH≌ΔDCK(SAS),ΔELB≌ΔHLJ。所以EB=GD,DK=BH. 然后证明ΔJHB≌ΔGDK,最后倒个角就出来了。PS:此题还可证出LB=1/2GK

54.G是中点,求证GJ=GE
视E,F为点圆用调和证明G在E,F和圆(ABCD)的根轴上。过F作两条切线,取出中点就行
QQ图片20200422154002.jpg
2020-4-22 15:41

55.证明任何外接多边形(即具有与多边形所有边相切的内切圆的多边形)具有可以形成三角形的三个边

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 00:12 编辑

52.△ABC内接于圆ω,M是BC的中点,AH⊥BC于H.DE是ω的一条经过M的弦。DE与AH相交于F.$\odot$(AEF)分别与直线AB、AC再交于I和J,过I和K分别作$\odot$(AEF)的切线,两切线相交于K.求证: AE⊥EK.
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2020-4-17 15:46

56.
QQ图片20200423123934.jpg
2020-4-23 12:41

57.
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2020-4-23 12:54

58.sondat推广:如果ABC,DEF正交中心P,Q且存在AX,BX,CX分别平行于DY,EY,FY,那么PX//QY
59.$I_b$为b所对旁心,D,E,F为三边切点,M是$FI_b$的中点,则$\angle ADI_b=\angle MCA$
QQ图片20200423174357.jpg
2020-4-23 17:45

60.I_CD垂直AC,DP平行AI,I_CE垂直BC,EQ平行BI,RS同理,PQ交RS于T,TI_A交BC于K,AI交BC于X,于是BX=CK
QQ图片20200424101609.png
2020-4-24 10:16

61.
QQ图片20200424101710.jpg
2020-4-24 10:17

都等价于AD过In(外接圆和内切圆的内位似中心)
因为他恒过内位似中心所以只要他们共内切圆就是等角线吗
ln是Ge的等角共轭点
62.
QQ图片20200424102120.jpg
2020-4-24 10:22
QQ图片20200424102130.jpg
2020-4-24 10:22
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2020-4-24 10:22

64.
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2020-4-24 10:20
令AK与圆交于P,连LP证相切
65.
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2020-4-23 23:37
等价于要证EAI和EIH相似
QQ图片20200423233653.jpg
2020-4-23 23:38

66.
QQ图片20200424123939.png
2020-4-24 12:40

AE=AF倒角你会发现FQ是对称的再倒角证个平行就完了
注意到PQEF在以A为圆心的圆上
68.
QQ图片20200424124827.jpg
2020-4-24 12:48

69.I是内心,AD=AE.求证:BF/CF=BD/CE
QQ图片20200424125140.jpg
2020-4-24 12:52

70.
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2020-5-10 12:10
FD过旁心
BFC是和圆I相切
71.设垂心为H,外心为O,切线三角形为△A'B'C',过D作AC,AB平行线交BE,CF于Q,R,则$\angle CBH=\frac\pi2-C=\angle B'C'O$,同理$\angle BCH=\angle C'B'O,\therefore \triangle BCH\sim\triangle C'B'O,\because \angle CBP=\pi-2C=\angle A'C'B',$同理$\angle BCP=\angle A'B'C',\therefore \triangle PBC\sim\triangle A'C'B',\therefore PBCH\sim A'C'B'O,\because HD\bot BC,OA\bot B'C',\therefore D,A$相似对应,$\because A'B=A'C,\therefore PQ=QR$,过P作AB,AC平行线交BC于$P_1,P_2,\because BC=CF,BF\parallel PP_1\parallel DR,\therefore P_1D=PR,$同理$P_2D=PQ,\therefore P_1D=P_2D,\because \triangle ABC\sim \triangle PP_1P_2,$M,D相似对应,$\therefore PD\parallel AM$
jpg.jpg
2020-5-10 17:35

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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56
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2020-5-13 16:56

等腰梯形CDFB内接于圆A,C,D处的切线交于E,EF再交圆C于H,BH交CD于I,则I为CD中点
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2020-5-18 09:14

证明:取FH中点G,则C,D,G在以AE为直径的圆上
∵∠CGE+∠CHD=∠CDE+180°-∠DAE=180°
∴∠CGF=∠CHD,同理∠FGD=∠CHD
∵△HCD∽△GCF,∴HD*CF = CD*GF
∵△DHF∽△IDB,∴DH*DB = HF*ID
∴HF*ID = CD*GF
∵△GFD∽△HCD,∴GF*CD = FD*HC
∵△DHF∽△IHC,∴DF*HC = HF*IC
∴HF*IC = GF*CD
∴CD*ID = IC*CD
∴ID=IC
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2020-5-18 09:22
L为ts和ab的交点,求证ml垂直ab
你截取BA'=AC然后L是AA'中点顺相似共轭导一导
ms⊥ef,算是ml⊥ab的下一级结论吧
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2020-5-18 11:01

从点O出发三条射线OX,OY,OZ,求证∠XOY,XOZ的平分线、∠YOZ的外平分线三线共面
不妨设OX,OY,OZ相等,XYZ各边中点设为x,y,z,xz平行XZ平行角XOZ外角分线
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2020-5-18 11:15
∠A=∠FOG(O是外心,FG是中点)延长BO,CO与圆交于两点,然后帕斯卡。也可以蝴蝶定理
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2020-5-22 17:51
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2020-5-18 11:19
直角梯形FBCG.F,G满足AF=BF,AG=CG.设D,E为BC边上两点且AD=AE.记H,I满足AH=HD,AI=IE且HDEI为矩形.延长HI交CG于点J,延长EI交FG于点K.求证:FH//KJ
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2020-5-18 12:17
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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 09:30 编辑

继续摞题...
△ABC内心为I ,圆O与边AB、BC相切,圆$O_2$过A、C,且$O_1,O_2$外切于点M。求证:∠AMC的平分线过点I。
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2020-5-21 00:00

设H为AD中点,I为CE中点,O为△ABE外心,作OG⊥CF垂足为G.求证:△BCD~△GIH
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2020-5-21 00:01

过正方形的顶点A的直线交BC、CD于M、N, DM与BN交于点L,BP⊥BN交DM于点P。求证: (1) CL⊥MN: (2)∠MON=∠BPM。
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2020-5-21 00:04

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2020-5-21 00:05
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2020-5-21 00:08
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2020-5-21 00:08

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-22 17:56 编辑

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2020-5-22 17:45

O、N分别是△ABC的外心和九点圆心,O'是△ABC外接圆上的任意三点P、Q、R关于△ABC的西姆松线围成的三角形的外心,N是△PQR的九点圆心,求证: ONO'N'是平行四边形
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2020-5-22 17:43

浅蓝△∽深蓝△,故深蓝△的垂心为浅蓝△的外心
△MNP相似于P、Q、R关于△ABC的西姆松线围成的三角形,故H''=O',故NN'O'为△OHH'三边中点
M,N,P为中点,由位似得△MPN的垂心H''为HH'中点

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-23 07:36 编辑

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2020-5-23 07:36

△ABC中,AD为角平分线,AE为高,过AD中点作一直线,交以AB、AC为直径的圆于X,Y,则∠XAY=∠XEY
证明:

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本帖最后由 hbghlyj 于 2020-5-25 08:45 编辑

已知△ABC, H为垂心,D-垂足圆交BC于另一点M,MW⊥EF,DEVF为平行四边形,求证: WV平分AH
解:易知△WEF∽△QBC,因此$\frac{EU}{UF}=\frac{BM}{MC}$,这表明U在圆(BF),(CE)的根轴上,因此V, U, H共线
取D关于△ABC的等角共轭点Q,△EMF垂心P
设DQ, DV中点分别为O,J,则PM=2OJ=QV
因而VQMP为平行四边形,VA,VW,VU,VP为调和线束
由此即知VW过AH的中点
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2020-5-25 08:15

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