[数列] 递推数列极限

$a_1＝1,a_2＝\frac {5}{4},a_{n}=\frac{（2n＋3）a_{n-1}+（2n-3）a_{n-2}}{2n}$

求n趋于正无穷时$a_n$的极限

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Infinity

2^#

发表于 2019-12-30 17:48 | 只看该作者

本帖最后由 Infinity 于 2019-12-30 17:50 编辑

确认公式没打错吗？数列发散，不存在极限。不过应该可以找到母函数，但是MMA只会用超几何级数（这个级数几乎可以表示很多初等和超越函数，比如雅可比椭圆函数，Gamma函数等等）来表示解，很明显结果是有理数，这说明系数是一些超几何级数的代数和，最后收敛到某个有理数，因此母函数应该可以进一步化简，化简后可能能找到简单一点的通项公式。

RecurrenceTable[{a[
n] == ((2 n + 3) a[n - 1] + (2 n - 3) a[n - 2])/(2 n), a[1] == 1,
a[2] == 5/4}, a, {n, 1, 24}]
r1 = %// N
Sol = DSolve[{2 (x^2 + x - 1) y'[x] + (x + 5) y[x] + 12 == 0,
y[0] == -2}, y[x], x] // Simplify
f[x_] = y[x] /. Sol;
r2 = Table[SeriesCoefficient[f[x], {x, 0, n}], {n, 1, 24}] // N // Flatten
Equal[r1, r2] (* 判断结果是否相等 *)

复制代码

{1., 1.25, 2.375, 4.04688, 6.92344, 11.6895, 19.6342, 32.8133, 54.644, 90.7318, 150.297, 248.474, 410.099, 675.891, 1112.57, 1829.4, 3005.22, 4932.6, 8089.98, 13259.4, 21718.6, 35554.8, 58175.7, 95144.3}

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