一些代数和数论训练题 - 初等数学讨论 - 悠闲数学娱乐论坛(第2版)

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发表于 2020-1-21 12:33 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-22 13:04 编辑

1.数列$\{ {a_n}\} $满足${a_1} = 1,{a_{n + 1}} = {a_n} + \frac{1}{{{a_n}}}$,则$\left\lfloor {{a_{2017}}} \right\rfloor$的值是
A.63 B.64 C.65 D.66
这与第一组第一题有点像
2.|x|<1,求\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 + x} \right)\left( {1 + {x^2}} \right)\left( {1 + {x^4}} \right) \cdots \left( {1 + {x^{{2^n}}}} \right)\]
3.$a,b,c\in\mathbf R^*,$求$\frac{(a-
b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)}$的取值范围
不妨设$a\ge b\ge c$,设$s=a-b,t=b-c,s,t\ge0$,化为$2\frac{s^2t^2(s+t)^2}{((b+s)^2(b-t)^2+(b+s)^2b^2+(b-t)^2b^2)(s^2+t^2+(s+t)^2)}$*,将$(b+s)^2(b-t)^2+(b+s)^2b^2+(b-t)^2b^2$对b求导解得$c = \frac16 (2^{\frac23}(2 s^3 + 3 s^2 t - 3 s t^2 - 2 t^3)^{\frac13}- 2 s - 4 t)$,代入*得\[\frac{{36{p^2}{{(p + 1)}^2}}}{{\left( {{p^2} + p + 1} \right)\left( {4{{\left( {{p^2} + p + 1} \right)}^2} - {2^{2/3}}{{\left( {p - 1} \right)}^{4/3}}{{\left( {2p + 1} \right)}^{4/3}}{{\left( {p + 2} \right)}^{4/3}}} \right)}}\],其中$p = \frac{s}{t}$,求导,p=1时取得最小值$\frac43$,$p\to\infty$时取得最大值2
4.$a,b,c \in {\bf{N}}*,ac = {b^2} + 1,$证明：$\exists x,y,z,t \in {\bf{Z}},a = {x^2} + {y^2},b = {z^2} + {t^2},c = xz + yt$
5.$a,b,c,d > 0,abcd = 1,$证明：$\sum \frac{1}{{a + b + 2}} \le 1$
6.n,k是任意给定的正整数,P是m次复系数首一多项式的集合,求\[\mathop {\min }\limits_{F \in P} \left( {|F(1){|^2} + |F(2){|^2} + \cdots + |F(n + k + 1){|^2}} \right)\]的所有可能值
7.存在无穷多\[x \in {{\bf{N}}_ + },s.t.s(x) + s({x^2}) = s({x^3})\]
s(n)表示正整数n的十进制数字和，下同
8.素数a,b,c,d满足2<a$\le$c且$a \ne b$,存在整数M使得s(an+b)=s(cn+d)对任意n>M对2到a-1的任意进制成立,证明：a=c,b=d
9.数列$\{a_n\}_{n\ge1}:s(a_n)\ge n$.证明：\[\frac{1}{{{a_1}}} + \frac{1}{{{a_2}}} + \cdots + \frac{1}{{{a_n}}} < 3.2\]能否把3.2换成3？
10.存在$n_1<n_2<\cdots<n_{50}$使得$n_1+s(n_1)=n_2+s(n_2)=\cdots=n_{50}+s(n_{50})$
11.是否存在$n_1<n_2<\cdots<n_{50}$使得$n_1+s(n_1)=n_2+s(n_2)=\cdots=n_{50}+s(n_{50}),n_2-n_1=n_3-n_2=\cdots=n_{50}-n_{49}$
12.设f(n)=n+s(n).如果存在k使得f(k)=m就称数m是s数,证明：有无穷多s数$10^n+b$当且仅当b-1是s数
13.如果一个数可以被组成这个数的数字的和整除，就称为Niven数.
比如111，由3个1组成，所以组成111的数字的和是1+1+1=3。111可以被3整除，所以111是Niven数。
试构造一个100位的Niven数。
14.给定正整数M,正整数a使得$s(a^n+n)=1+s(n)$对任意n>M成立,证明：a是10的幂
15.给定正整数k,证明：存在正整数m使得方程n+s(n)=m恰有k个解
16.是否存在19个数字和相同的正整数,它们的和为1999？
17.a,b>0,证明：数列\[s\left( {\left\lfloor {an + b} \right\rfloor } \right)\]包含一个常数列
18.如果s(n)=100,s(44n)=800,求s(3n)
19.求最小正整数,使得它能表为2002个数字和相同的数的和,也能表为2003个数字和相同的数的和
20.证明\[\sum\limits_{n \ge 1} {\frac{{s(n)}}{{n(n + 1)}} = \frac{{10}}{9}\ln 10} \]

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hbghlyj

22^#

发表于 2020-1-22 13:06 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2020-1-22 13:45 编辑

第十一组第17题n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16时首位分别为5,4,3,2,1,6,3,1,5,1,5,1,4,9,1,3

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hbghlyj

23^#

发表于 2020-1-22 13:18 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-5-4 17:47 编辑

第十一组
1.单调递增正整数列$\{x_n\}$满足${x_n}{x_{n + 1}} \le 2\left( {{x_1} + {x_2} +  \cdots  + {x_n}} \right),\forall n \in {{\bf{N}}^*},$求$x_n$
2.实数$x_1,x_2,x_3$满足\[{x_1} + {x_2} + {x_3} = 3,x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4\],求$x_1,x_2,x_3$
3.$n \in {{\bf{N}}^*},{a_i} \in {\bf{R}},{a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_k} \le k,\forall k \in \{ 1,2, \cdots ,n\} ,$求证：$\mathop \sum \limits_{i = 1}^n \frac{{{a_i}}}{i} \le H(n)$
4.$a,b\in\mathbf R,z \in {\bf{C}} - {\bf{R}},|a - b| = |a + b - 2z|.$求证：存在唯一实数x满足$(1)|z - a{|^x} + |z - b{|^x} = |a - b{|^x};(2)\{ x \in {\bf{R}}|{\left| {z - a} \right|^x} + {\left| {z - b} \right|^x} \le {\left| {a - b} \right|^x}\} $
5.求证：\[a,b \in {\bf{C}},|az + b\overline z | \le 1,\forall z \in {\bf{C}},|z| = 1 \Leftrightarrow |a| + |b| \le 1\]
6.\[a,b \in {\bf{R}}*,f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
ax\quad x \in {\bf{Q}}\\
bx\quad x \in {\bf{R}} - {\bf{Q}}
\end{array} \right..\]求证f是单射当且仅当是满射
7.a,b,c,d是互异复数,求证：\[|z - a| + |z - b| \ge |z - c| + |z - d|,\forall z \in {\bf{C}} \Leftrightarrow \exists t \in (0,1),c = ta + (1 - t)b,d = (1 - t)a + tb\]
9.\[f \in {\bf{C}}[x],\deg f > 0,1 + f({x^n} + 1) = f{\left( x \right)^n},\forall x \in {\bf{C}},\]求f
10.$n \in {\bf{N}}*,{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n} > 0$,求证：$\min \{ {x_1},\frac{1}{{{x_2}}} + {x_2}, \cdots ,\frac{1}{{{x_{n - 1}}}} + {x_n},\frac{1}{{{x_n}}}\}  \le 2\cos \frac{x}{{n + 2}}$
11.a,b,c,d>0,abcd=1,求证：\[\sum \frac{1}{{a + b + 2}} \le 1\]
12.a,b,c>0,a+b+c=3,求证：\[\sum \frac{{{a^2}(b + 1)}}{{ab + a + b}} \ge 2\]
13.a,b,c>0,a+b+c=1,求证：\[\sum \frac{{1 - {a^2}}}{{a + bc}} \ge 6\]
14.a,b,c$\ge$0,$a^2+b^2+c^2=6,$求\[\sum \sqrt {4 - {a^2}} \]的取值范围
15.a,b,c为互异实数,求证：\[\sum \left| {\frac{a}{{b - c}}} \right|\ge2\]
16.求\[\frac{{\sum\limits_{i = 1}^{{n^2}} {\sqrt {n + \sqrt i } } }}{{\sum\limits_{i = 1}^{{n^2}} {\sqrt {n - \sqrt i } } }}\]的值
17.$a_n$的三进制表示为$121122111222 \cdots \underbrace {1 \cdots 1}_{n}\underbrace {2 \cdots 2}_{n}$,求证：数列$\{a_n\}:$中有无穷多项,它们的十进制表示的首位是1
我觉得可以用9进制逼近一下
18.$a,b,c\in[-1,1],a b c + a b + b c + c a - a - b - c = -\frac12,$求证\[a^2+b^2+c^2-3\ge\frac{11}5(a-1)(b-1)(c-1)\]
19.给定整数$n\ge4$,非负实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$满足$\sum\limits_{1 \le i < j \le n} {{a_i}{a_j}}  = \frac{{n(n - 1)}}{2}$,求所有的k>0,使得不等式$\sqrt {\frac{{n - 2}}{n}} \left( {{a_1} + {a_2} +  \cdots  + {a_n}} \right) + \frac{{{{\left( {\sqrt n  - \sqrt {n - 2} } \right)}^2}}}{2}{\left( {{a_1}{a_2} \cdots {a_n}} \right)^2} \ge n - 1$恒成立
20.$f(x)=(e^x-1)\ln x$
(1)证明$f(x)\ge -\frac12$
(2)$f(x+1)\ge ax$恒成立,求a的取值范围
21.$P,Q\in\mathbf Z[x]$且不恒等于0，次数分别为p,q，证明：
P,Q在$\mathbf Z[x]$上互素的充要条件为$(p+q)\left\|P\right\|^q\left\|Q\right\|^p\max(|P(a)|,|Q(a)|)>1$
其中,$\left\|P\right\|$表示P的所有系数平方和的平方根
22.用两种方法证明\[\sum\limits_{k=0}^nC_{2n}^kC_{2n-2k}^{n-k}=4^n\]
23.设$S_n=\sum\limits_{k=1}^n\frac{k^2}{k!}$,在\[\sum\limits_{k=1}^n\frac{S_k}{4^k}<\frac5{12}e^{\frac1k}\]
24.设$0\le a_k\le 1,k=1,2,\cdots,n,S_n=\sum\limits_{k=1}^na_k,n\ge2,$证明$\sum\limits_{k=1}^n\frac{a_k}{1+S_n-a_k}+\prod\limits_{k=1}^n(1-a_k)\le1$
25.已知函数$f(x)=(x-1)^2(x-1-a)-\ln^3x$,证明f(x)只有一个或三个零点.若f(x)有三个零点,且这三个零点构成单调数列$\{x_n\}$,求最小的实数$\lambda$,使$x_1^2+x_3^2+x_1x_3<\lambda+a\sum\limits_{n=1}^3x_n$恒成立,并证明$e^{\frac\pi{4\lambda}}+e^{-\frac\pi{4\lambda}}<\frac2{\sqrt\lambda}+1$

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hbghlyj

24^#

发表于 2020-1-26 16:23 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-31 22:30 编辑

第十二组
1.a,b,c $\in$[-1,1],$abc+ab+bc+ca = -\frac12$,证明：\[{a^2} + {b^2} + {c^2} - 3 \ge \frac53(a - 1)(b - 1)(c - 1)\]
2.数列$\{a_n\},a_1=1,a_2=6,$对于$n\ge3$有\[{a_n} = \left\{ \begin{array}{l}
{a_{n - 1}} + \sin {a_{n - 1}},{a_{n - 1}} \ge {a_{n - 2}}\\
{a_{n - 1}} + \cos {a_{n - 1}},{a_{n - 1}} < {a_{n - 2}}.
\end{array} \right.\],证明:对一切n,都有$a_n<100$
3.设n 是给定的正整数，对于任意的n 个复数，证明:一定存在正整数k<2n +2,使得这n 个复数的k 次幂之和的实部≥0
4.设T是正整数的有限集,对任意正整数n,设$a_n$是有限数列$(t_1,\cdots,t_m),m\le n,t_i\in T$的个数,使得对所有正整数$i\le m$,$t_1+\cdots+t_m=n.$证明：无穷级数$1+\sum\limits_{n\ge1}a_nz^n\in\mathbb C[[z]]$是z的有理函数.并求出这个有理函数.
5.若数列$\{a_n\}:a_n=\ln2+\ln3+\cdots+\ln n$,则当$\lim\limits_{n\to\infty}[a_n-(n+a)(\ln n+\lambda)]$存在时,求a,b的值
6.$3 x^2 + 4 y^2 + 7 z^2 =36,x,y,z\ge0$,求证：$9 x^2 z^2 + 24 x y z^2 + 16 y^2 z^2 \le324$
$9 x^2 z^2 + 24 x y z^2 + 16 y^2 z^2=3z^2(3 x^2 + 4 y^2 + 7 z^2 - 36)+z^2(4(y-z)^2+24 x y +8 y z-25 z^2+108 )$
7.集合B,C满足B∪C={1,2,⋯,10},且B的所有元素之和等于C的所有元素之积,则(B,C)共有几组
B的所有元素之和介于
8.复数列$\{z_n\}$满足$|z_0|=1,z_{n+1}=\frac{iz_n}{\overline{z_n}},z_{2015}=1$,则$z_0$有多少种取值
9.a,b为非零向量,|a|=|a+3b|=2,求|a+b|+|b|的取值范围
10.从m个男生，n个女生中任选2人(4≤n≤m≤10),若选出两人性别相同与不同的概率相等，则(m,n)的可能值有_种
11.求$f(x)=\frac{\sin x+\sin 3x+\cdots+\sin(2^{2019}-1)x}{\cos x+\cos 3x+\cdots+\cos(2^{2019}-1)x},0\le x\le\frac1{2^{2019}}$的值域
x$\ne0$时,原式$=\csc {2^{2019}}x - \cot {2^{2019}}x=\frac{1}{{\csc {2^{2019}}x + \cot {2^{2019}}x}}\in(0,\csc1-\cot1]$
而f(0)=0,故f(x)的值域为$[0,\csc1-\cot1]$
12.边长为1的正方形绕与其相交的某条直线旋转得到一个立体图形,其体积最大值为
知乎
设正方形边与直线l夹角为$\alpha$，旋转出来立体图形可以看成俩个大圆锥减去四个小圆锥。这些立体图形是相似的，所以体积比等于相似比的立方。从而可以比较容易的得出体积$V=pi(1+\tan\alpha)\cos a$。$\alpha=\frac{\pi}4$时取最大值$2\pi$。
13.在$\triangle ABC$中,$5a\cos B-5b\cos A=3c$,求$\frac{\tan A}{\tan B}$
$5\sin A\cos B-5\sin B\cos A=3\sin A\cos B+3\sin B\cos A,\frac{\tan A}{\tan B}=\frac14$
14.在$\triangle ABC$中,$2a-b=2c\cos B$,D为AB中点,AD=$\sqrt3$,c=2,则$\triangle ABC$的面积为
$2\sin A-\sin B=2\sin C\cos B=\sin A+\sin(C-B),\sin A=\sin B+\sin(C-B),$
15.$M(x)=12x^4+(12a-3k+1)x^2,G(x)=4ax^3+2a^2x-3a^2,$对任意a$\in[1,+\infty)$,M(x)≠G(x),求k的最大值
16.在$\triangle ABC$中,$a(a+c)=b^2$,求$\sin A+8\sin B+5\sin C$的取值范围
B=2A,原式=$\sin A+8\sin 2A+5\sin 3A,0<A<\frac\pi3$
当$A\to0$时取最小值0,$A=\arctan\frac34$时取最大值
17.在棱长为2的正方体内任取P点,P到正方体各面的距离的平方和小于8的概率是
18.正数a,b,c,d和为12,则$P(a\ge1,b\ge2,c\ge3,d\ge4)$=
19.$5x^2+6y^2+11z^2=11,$求$(5x+6y)z$的取值范围
$z (5 x+6 y)=\frac{1}{2} \left(5 x^2+6 y^2+11 z^2\right)-\frac{5}{2} (z-x)^2-3 (y-z)^2\le\frac{11}2$,当且仅当$x=y=z=\pm\frac{\sqrt2}2$时取等
以-z代z,由上面得到$(5x+6y)z\ge-\frac{11}2$,当且仅当$x=y=-z=\pm\frac{\sqrt2}2$时取等
20.$a\in\mathbf R-\mathbf Q$,证明\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left\{ {ka} \right\}} = \frac{1}{2}\]Weyl平均分布准则
21.过单位圆上一点P的切线与圆$x^2+y^2-2x-8y-19=0$交于A,B两点,求$\frac{PA}{PB}$的取值范围
22.\[\frac{{\left( {\left| x \right| + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{{x^2} + \left| x \right| + 1}} > \sqrt {\frac{e}{\pi }} \]
23.已知x,y,z为实数,求证$\sin^2x\cos y+\sin^2y\cos z+\sin^2 z\cos x<\frac32$
24.已知$f(x)=x-\ln x$,
(1)若$f(x)-x^2+2x=b$在$\left[\frac12,2\right]$上恰有两不等实根,求b的范围
(2)求证\[\sum\limits_{k=2}^n\frac1{k-f(k)}>\frac{3n^2-n-2}{n(n+1)}\]
其中$n\ge2,n\in\mathbf N(\ln2\approx 0.6931)$
25.设$a+b+c=15$,且$a,b,c>e$,证明\[\frac{a\ln a+b\ln b+c\ln c}{a^2+b^2+c^2}\le\sqrt3\ln5\]
当a=b=c=5时取等
26.已知数列$\{a_n\}$是首项为2的正项等差数列,数列$\{b_n\}$是首项为2的正项等比数列,$a_3=b_3<50,\lim\limits_{n\to+\infty}\sum\limits_{i=1}^n\frac{a_i}{b_i}=5$
(1)求$f(n)=\frac{a_n}{b_n}$的最大项的值
(2)设数列$\{a_n-n\}$的前n项和为$S_n$,数列$\{\frac{S_n}n\}$的前n项和为$T_n$,求所有正整数对(m,n)满足$S_m=T_n(n<2018)$
27.已知直角坐标系xOy中,椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左,右焦点分别为$F_1,F_2$,过$F_1$作垂直于x轴的直线交椭圆第三象限于点A，直线$AF_2$交椭圆于点B(不同于点A),直线OB的斜率为$\frac9{26}$(O为坐标原点),$\triangle F_1AB$的面积为$\frac{15}7$
(1)过$F_2$作直线L(斜率<-1)交椭圆于C,D,再过$F_2$作与L垂直的直线交椭圆于M,N两点,若四边形CMDN的面积为$\frac{225}{38}$,求点O到直线L的距离
(2)过单位圆上任一点E(E在第一象限)作切线交椭圆于P,Q两点(Q在第四象限),直线OE交椭圆于X,Y两点,若|PE|:|EQ|=11:13,求四边形PXQY的面积
28.空间直角坐标系Oxyz,平面x+y+z=1上是否存在无穷多对整点A,B,使OA⊥AB?
设A(a,b,c),B(d,e,f)转化为$a^2+b^2+c^2=ad+be+cf$
29.$x+\sin x \geq 2 \ln (x+1) \quad(x \geq-1) $
证明:求导易知,
$x \leq 0$时$x+\sin x \geq 2 x \geq 2 \ln (x+1) $
$0<x \leq \pi$时$x+\sin x \geq 2 x-\frac{x^{2}}{\pi} \geq 2 \ln (x+1) $
$x>\pi$时$x+\sin x \geq \frac{x}{e}+2 \ln 2+\frac{1}{e} \geq 2 \ln (x+1) .$

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hbghlyj

25^#

发表于 2020-2-5 13:09 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-5-31 21:50 编辑

1.$x,y \in {\bf{R}},$函数$f_i(i=1,2,\cdots,n)$满足\[f\left[ {2f\left( x \right) + f\left( y \right)} \right] = f\left( x \right) + f\left( y \right) + x\],则\[\sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{x = 1}^k {{h_i}(x)} }  = \]
2.$f\left( x \right) = {f_1}(x) = 1 + \frac{1}{x},{f_n}(x) = f({f_{n - 1}}(x)),$则\[\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {f_n}(1) = \]
3.数列$\{a_n\}$满足${a_n} \le 1,{a_n} = 1,{a_{n - 1}} = 4{a_n} - 2a_n^2,$,则$\{a_n\}$的通项公式为
4.m,n是$\ge$2的整数,对任意正数${a_1},{a_2}, \cdots ,{a_n}$,记${S_k} = \sum\limits_{i = 1}^k {{a_i}}$,\[\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{{lk + \frac{1}{4}{l^2}}}{{{S_k}}} < {m^2}\sum\limits_{k = 1}^n {\frac{1}{{{a_k}}}} } \]恒成立,求自然数l的取值范围
5.设函数\[y = kx - k\ln x - \frac{{{e^x}}}{x}\left( {0 < k < e} \right)\]的值域为A,B=(-1,+∞),若$A \cap B = \emptyset $,则k的最大值为
6.\[\int_0^{\frac{\pi }{4}} {\ln \left( {1 + \tan x} \right){\text{dx}}}  + \int_0^1 {x\sqrt {x\left( {1 - x} \right)} {\text{dx}}}  + \int_0^1 {\sqrt {\left( {1 + x} \right)\left( {1 - x} \right)} {\text{dx}}}  = \]
7.所有不大于实数$x\ge2$的质数之积小于$4^{x-1}$,即\[\prod\limits_{\begin{array}{*{20}{c}}
{p\le x}\\
{p \in P}
\end{array}} p  < {4^{x - 1}},\forall x\ge2\]
8.数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足
Ⅰ对于任意正整数n,都有$a_n,b_n$是整数,
Ⅱ$x^2+a_nx+b_n=0$的两根分别为$a_{n+1}$和$b_{n+1}$;
(i)证明：存在正整数m使得$|b_m|=|b_{m+1}|=|b_{m+2}|=\cdots$;
(ii)求所有满足条件的数列的通项公式
9.求$\frac{yz}x+\frac{zx}y+\frac{xy}z=3$的整数解(x,y,z)
由$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx$得$|x|+|y|+|z|\le3$,因此整数解(x,y,z)有(1,1,1)(-1,-1,1)(-1,1,-1)(1,-1,-1)四组.
10.用朗博W函数给出$r^x-1=x$的解
设$a\cdot e^a=-\frac{\ln r}{r}$
$x=-\frac{a}{\ln r}-1=\frac1{re^a}-1$
$r^x=\frac1{r\cdot r^{\frac a{\ln r}}}=\frac1{r\cdot e^{a}}=\frac1{re^a}=x+1$
所以$x=1-\frac{W\left(-\frac{\ln r}{r}\right)}{\ln r}$
11.a,b>0,a+b=1,求$\frac{27}{a^2}+\frac1{b^2}$的取值范围
$\frac{27}{a^2}+\frac1{b^2}=\left(\frac3a-\frac1b\right)^2+6\left(\frac{3}{a^2}+\frac1{ab}\right)=\left(\frac3a-\frac1b\right)^2+6\left(\frac{3(a+b)^2}{a^2}+\frac{(a+b)^2}{ab}\right)=\left(\frac3a-\frac1b\right)^2+6\left(5+\frac{7b}a+\frac{3b^2}{a^2}+\frac ab\right)=\left(\frac3a-\frac1b\right)^2+6\left(\frac{14}3+\frac{9b}a+\frac ab+3\left(\frac{b}a-\frac13\right)^2\right)\ge64$
当a或b趋于0时原式趋于$\infty$,故$\frac{27}{a^2}+\frac1{b^2}\in[64,+\infty)$
又见这帖
12.数列$\an$满足$0\le a_1\le 1$,$a_{n+1}=\frac{4a_n+t}{a_n+2}(t\in\mathbb R)$,若对任意正整数n都有$0<a_n<a_{n+1}<3$,则t的取值范围为
[0,3]
13.用$M_I$表示函数$y=\sin⁡ x$在闭区间I上的最大值，若正数a满足 $M_{[0,a]}=\sqrt2M_{[a,2a]}$则a=
14.过点A(11,2)作圆$ x^2 + y^2+2x-4y-164=0$ 的弦，其中弦长为整数的共有___条.
15.在正八棱锥中，相邻两个侧面所成的二面角的取值范围是___
16.从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成角为 60∘的共有___对。
17.设平面内有 n(n≥3)条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线
不过同一点。若ƒ(n)表示这n条直线交点的个数，则ƒ(6)=___
18.单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为___
PS:f的斜体竟然可以直接打出来:ƒ
19.在水平地面上的不同两点处安装有两根笔直的电线杆，假设它们都垂直于地面，则在水平地面上视它们上端仰角相等的点P的轨迹可能是___(选填椭圆，抛物线，直线，圆)
20.
21.已知y,z,x>0，求证：$\frac{z+x}{2y} + \frac{x+y}{2z} + \frac{y+z}{2x}≥\frac{2y}{z+x}+\frac{2z}{y+x}+\frac{2x}{y+z}$
22.从$x\sin \theta + y\cos \theta  = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$和$\frac{{{{\sin }^2}\theta }}{9}\;{\rm{ - }}\;\frac{{{{\cos }^2}\theta }}{4}\;{\rm{ = }}\;\frac{1}{{{x^2} + {y^2}}}$中消去参数$\theta$
$x^2-\frac{9 y^2}{4}=9$
23.设函数$f_n(x)=- 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{x^3}}}{{{3^2}}} +  \cdots  + \frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}$,证明:对任意正整数n,存在唯一的$x_n\in\left[\frac23,1\right],$满足$f_n(x_n)=0$
24.设D是所有模小于1的复数构成的集合,对任意正整数n和互异的复数$z_1,z_2,\cdots,z_n$,定义
\[W(z_1,z_2,\cdots,z_n)=\sum\limits_{1\le j<k\le n}\ln\left|z_j-z_k\right|^2+\sum\limits_{j=1}^n\sum\limits_{k=1}^n\ln\left|1-z_j\overline{z_k}\right|^2\]
25.已知虚数$z_1=a+bi,z_2=2+di$($a,b,d∈\mathbf R$且d≠0)满足$z_1+z_2=z_1z_2$,则a+b的取解：$a=2+bd,b=(1-a)d$,$b=-\frac d{1+d^2},a+b=2-\frac {d(d+1)}{1+d^2}=1-\frac {1}{d+1+\frac2{d-1}}\ge\frac32$
26.若$f(x)=x\ln x-(x+\ln x)+\frac k4>0$对任意x>0恒成立,求正整数k的最小值
27.求$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{4^n(n-1)(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$
28.直线$L_1 : 2x+y-8=0$交x轴于点A,直线$L_2:y= kx+6$与y轴交于点B,与直线$L_n$交于点C,若四边形OACB存在外接圆，则四边形OACB的面积与其外接圆的面积之比为____
29.设一元三次方程$x^3-3\sqrt3x^2-3x+\sqrt3=0$的三个实根分别为$x_1<x_2<x_3$,则$\frac{x_3}{x_2}(1-x_2^2)(1-x_1^2)$的值为
30.$x=\sqrt{\frac{\sqrt{53}}2+\frac32},$求正整数组(a,b,c)满足\[x^{100}=2x^{98}+14x^{96}+11x^{94}-x^{50}+ax^{46}+bx^{44}+cx^{40}\]
31.设$F(x)=\max\limits_{1\le x\le 3}|x^3-ax^2-bx-c|$,当a,b,c取遍所有实数时,求$F_{min}$
32.已知数列$\left\{a_{n}\right\},a_{1}=2,a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}-\frac{1}{a_{n}}\right),$求通项$a_{n}$
不动点没有实根
采用三角代换,$a_n=\cot\alpha$,则$a_{n+1}=\cot2\alpha$,归纳得$a_n=\cot\left(2^{n-1}\operatorname{arccot}2\right)$
33.$a,b,c,d>0,a+b\ge c+d,a^{-1}+b^{-1}\ge c^{-1}+d^{-1}$,求证$(a+b)(c+d)\ge2(ab+cd)$
注意到恒等式$-a b c-a b d+a c d+b c d=-\frac{1}{2} \left(c^2+d^2\right) (a+b-c-d)-\frac{1}{4} (c+d) (2 a-c-d) (2 b-c-d)-\frac{1}{4} (c+d) (c-d)^2$
由$-a b c-a b d+a c d+b c d\ge0,a+b-c-d\ge0$得$(2 a-c-d) (2 b-c-d)\le0$,由于a,b地位对称,不妨设$2 b-c-d\le0$,所以
$(a+b)(c+d)-2(ab+cd)=(a+b-c-d)(-2b+c+d)+(b-c)^2+(b-d)^2\ge0$
34.求$6 \sin x+\cos x+5 \sin 2 x $的最大值
\begin{array}{l}
6 \sin x+\cos x+5 \sin 2 x \\
=\frac{51}{5}-\frac{25}{4}\left(\sin x-\cos x-\frac{1}{5}\right)^{2}-\frac{5}{4}\left(\sin x+\cos x-\frac{7}{5}\right)^{2} \\
\leq \frac{51}{5}
\end{array}
35.设实数$a_1,a_2,\cdots,a_n$满足$\sum\limits_{i=1}^na_i=0$.证明$\dfrac n{n-1}\min\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}\ge\sum\limits_{i=1}^n\min\{a_i,a_{i+1}\}$,其中$a_{n+1}=a_1.$
证明:不妨设$a_1\le a_2\le\cdots\le a_n$,要证明$a_1=-\sum\limits_{i=2}^na_i\ge -(n-1)a_n\Rightarrow \dfrac n{n-1}a_1\ge a_1-a_n=a_1+\sum\limits_{i=1}^{n-1}a_i$
36.$a,b,c\in\mathbf{R},a+b+c=0,abc=1,$求$\sum\frac{a^2}b$的取值范围
$\sum\frac{a^2}b=\sum ca^3=\sum ca^2\sum a-\sum c^2a^2-abc\sum a=-\sum c^2a^2=-(\sum bc)^2+2abc\sum a=-(\sum bc)^2$,设$s=\sum bc$,由于a,b,c不全相等,且a,b,c符合方程$x^3 + s x - 1=0$,所以它至少有两个不等的实根,故$\Delta=-4s^3-27\ge0,s\le-\frac3{\sqrt[3]4}$,所以$\sum\frac{a^2}b\le-\frac9{2\sqrt[3]2}$
37.设整数$n \geq 2, x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$为整数满足$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}=x_{1} x_{2} \cdots x_{n}$,证明:$1<\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{n} \leq 2$
38.是否存在实数$x_{i}(1 \leq i \leq 10)$,使得$\sum_{i=1}^{10} x_{i}=0, \sum_{i=1}^{10} x_{i}^{2}=990$,且$\min _{1 \leq i<j \leq 10}\left|x_{i}-x_{j}\right|>4$

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