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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 最佳常数p使$x^2-x^3\geq y^4-y^3→\frac{x^p+y^p}2\leq1$
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发表于 2019-12-8 23:01
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[不等式]
最佳常数p使$x^2-x^3\geq y^4-y^3→\frac{x^p+y^p}2\leq1$
求最小的正数p,使得对任何正数x,y满足$x^2-x^3\geq y^4-y^3$,都有$\frac{x^p+y^p}2\leq1$
我们已证明p=3时满足条件,而p=6时满足不了。。
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发表于 2019-12-9 23:37
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用软件研究了下,应该是解不出精确解的,大概在 5.873 左右
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hbghlyj
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发表于 2019-12-10 18:11
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2#
kuing
取p=5用人工方法做做看?
对任意正数x,y满足$x^2+y^3\geq x^3+y^4$,求证$x^5+y^5\leq2$
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kuing
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发表于 2019-12-11 12:30
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3#
hbghlyj
考虑其逆否命题:任意正数 `x`, `y`,若 `x^5+y^5>2`,则 `x^2+y^3<x^3+y^4`。
而这只需证
\[\sqrt[5]{\frac{x^5+y^5}2}\cdot x^2+y^3\leqslant x^3+y^4\sqrt[5]{\frac2{x^5+y^5}},\]令 `x=ty`,则化为证明对任意正数 `t` 有
\[f(t)=t^3-1+\sqrt[5]{\frac2{t^5+1}}-\sqrt[5]{\frac{t^5+1}2}\cdot t^2\geqslant 0,\]这样就转化为一元函数问题,用软件画图看了下是成立的,但要人工证明看来还是有点困难,暂且休息一下。
回头看看 2# 的数值,如果是正确的话,那将上述函数的 5 改成 5.873 也是成立的,再用软件画图看是这样的:
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(16.88 KB)
2019-12-11 12:29
可以看到,除了 `t=1` 为零之外,在 0.85 附近也非常接近零,可见该最佳值估算应该是没问题的。
未完待续……
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