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[函数] 网友问的三个二次函数

黎** 2019/12/2 15:07:15
QQ图片20191202170846.jpg
2019-12-2 17:09
第三问,可能涉及数论?我暂时不会,所以先不分类,你们来

码字:
已知二次函数 `f_1(x)=x^2-ax+b`, `f_2(x)=x^2-bx+c`, `f_3(x)=x^2-cx+a`。
(3)设 `a`, `b`, `c` 是正整数,求所有可能的有序三元组 `(a,b,c)`,使得 `f_1(x)=0`, `f_2(x)=0`, `f_3(x)=0` 均有整数根。
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

暂时知道的是:
`a`, `b`, `c` 都不小于 `4`,理由是 `a^2\geqslant4b\geqslant4\sqrt{4c}\geqslant4\sqrt{4\sqrt{4a}}` 解得 `a\geqslant 4`,对 `b`, `c` 同理。
而且,只要有一个是 `4`,则其余两个都必定也为 `4`,所以剩下只需讨论 `\geqslant5` 的情形。

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有了,并不需要什么数论的东东,希望没错:

显然如果有一个根是整数,则另一个也是,而且它们都是正的,设 `f_i(x)=0` 的两根是 `m_i`, `n_i`(`i=1`, `2`, `3`),由韦达有
\begin{align*}
a&=m_1+n_1=m_3n_3,\\
b&=m_2+n_2=m_1n_1,\\
c&=m_3+n_3=m_2n_2,
\end{align*}由此可得
\[(m_1-1)(n_1-1)+(m_2-1)(n_2-1)+(m_3-1)(n_3-1)=3,\]记 `p_i=(m_i-1)(n_i-1)`(`i=1`, `2`, `3`),即 `p_i\geqslant 0`, `p_1+p_2+p_3=3`。

若 `p_i` 中有 `1`,则有一对 `(m_i,n_i)=(2,2)`,则 `a`, `b`, `c` 中有两个是 `4`,再像楼上那样用判别式可证剩下那个也是 `4`;

若 `p_i` 中没有 `1`,那就只能两个 `0` 一个 `3`,不妨设 `p_1=p_2=0`,则 `(m_3,n_3)=(2,4)`,代回上面得 `(m_1,n_1)=(1,7)`, `(m_2,n_2)=(1,6)`,即 `(a,b,c)=(8,7,6)`。

综上,所有符合的是 `(4,4,4)` 与 `(8,7,6)` 及其轮换,共四组。

可能会有更简单的方法……

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