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[函数] 如何证明 $\ln 2 < \frac{25}{36}$?

本帖最后由 abigtreenj 于 2019-10-23 21:46 编辑

前一阵做题时, 有一个解法导致了这样一个结果, 我没有搞定. 后来利用excel计算, 发现用 $\text{e}^x > 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!} > 2$ (其中 $x = \frac {25}{36}$) 来解决可以的, 靠手工计算基本上不行.

请教有别的方法估算吗? 如果不行, 这个方法我就放弃了.
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只用 `e^x` 收敛不够快,拉上一个 `e^{-x}` 会快很多,即
\[e^x-e^{-x}>2x+\frac{x^3}3,\quad\forall x>0,\]取 `x=25/36` 算出右边 `>2-1/2`,得到 `e^{25/36}>2`,这样计算量相对小一点。

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只用 $e^x$ 收敛不够快,拉上一个 $e^{-x}$ 会快很多,即
$e^x-e^{-x}>2x+\frac{x^3}3,\quad\forall x>0,\ ...$


漂亮

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玩个积分:因为 `1/x` 是下凸函数,根据定积分的几何意义,曲边梯形面积小于梯形面积,得
\begin{align*}
\ln2&=\int_1^2\frac1x\rmd x\\
&<\frac1{2n}\left( \frac11+\frac1{1+\frac1n} \right)+\frac1{2n}\left( \frac1{1+\frac1n}+\frac1{1+\frac2n} \right)+\cdots+\frac1{2n}\left( \frac1{1+\frac{n-1}n}+\frac12 \right)\\
&=\frac3{4n}+\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n-1},
\end{align*}此式对任意大于 `1` 的整数 `n` 成立,取 `n=7` 即得
\[\ln2<\frac3{28}+\frac18+\frac19+\cdots+\frac1{13}=\frac{250241}{360360}<\frac{25}{36}.\]
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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等价为证明$\log_2e>36/25$,即$e^{25}>2^{36}$,同时开5次方,即要证明$(e/2)^5>4\sqrt[5]{2}$.
因为$e>2.718,\;1.149^5>2$,故$(e/2)^5>(2.718/2)^5>4\times1.149>4\sqrt[5]{2}$.
都是2以内的小数的乘法计算,手算计算量并不大。

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