不妨设 `1/4<x\leqslant y<1`,则 `\ln(y-1/4)\geqslant\ln(x-1/4)`, `1/\ln x\geqslant1/\ln y`,故由排序不等式得
\[\text{原式}=\frac{\ln(y-1/4)}{\ln x}+\frac{\ln(x-1/4)}{\ln y}\geqslant\frac{\ln(x-1/4)}{\ln x}+\frac{\ln(y-1/4)}{\ln y},\]而由均值有 `x^2+1/4\geqslant x`,得到当 `1/4<x<1` 时有
\[\ln(x^2)\geqslant\ln\left(x-\frac14\right)\iff\frac{\ln(x-1/4)}{\ln x}\geqslant2,\]对 `y` 同理,所以原式 `\geqslant4`,当 `x=y=1/2` 时取等,所以最小值就是 `4`。 |