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[几何] 一道平面几何问题

三角形ABC中,AB=AC,D为三角形ABC内一点,∠ABD=30°,∠DBC=42°,∠BCD=54°,∠ACD=18°,求∠BAD。
微信图片_20191014193512.jpg
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回复 1# 敬畏数学

这题的答案是 $24\du$. 期待巧妙的几何解。

我用正弦定理得到这个方程 $\cfrac {\sin (\alpha+30\du)}{\sin \alpha}=2\sin 84\du$

现在可以确定 $\alpha=24\du$ 是这个方程的解,但不会解这个方程。

两个方向都希望有高手突破,尤其是解这个方程的招数,很感兴趣。

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2003年日本初中数学竞赛试题 那里肯定有纯几何解法哟

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也是得到一个三角方程,但解不出。看来只有纯几何法是出路!不想费神了。

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按以往的经验,几何法很可能要搞个正三角形来联系起那个 30 度,但想了好久都撸不出来

三角法倒是不怎么需要动脑,设所求角为 `x`,由弦正定理
\[
1=\frac{DB}{DA}\cdot\frac{DC}{DB}\cdot\frac{DA}{DC}
=\frac{\sin x}{\sin30\du}\cdot\frac{\sin42\du}{\sin54\du}\cdot\frac{\sin18\du}{\sin(36\du-x)},
\]即
\[
2\sin x\sin42\du\sin18\du=\sin54\du\sin(36\du-x),
\]积化和差变成
\[
\sin x\left( \cos24\du-\frac12 \right)=\frac{\cos(18\du+x)-\sin x}2,
\]即
\[
2\sin x\cos24\du=\cos(18\du+x)=\sin(72\du-x),
\]左边递增,右边递减,所以如果有解,解必唯一,而恰好 $x=24\du$ 是解,所以这就是结果。

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回复 2# 业余的业余
这个方程的解可以猜,首先解必定在 $(0^\circ,36^\circ)$ 内,在这个范围内
\[
\frac{\sin(x+30^\circ)}{\sin x}=\cos 30^\circ\csc x+\sin 30^\circ\cot x
\]
是严格单调减函数,所以方程的解是唯一的。如果有量角器,作一个精确的图就能量出解,然后再证明下就可以了。

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这里曾整理过这类格点问题的全解:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4891
a.png
2019-10-15 14:54

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想来想去,还是用同一法强上吧

抛开原题,先证明一个结论:
QQ截图20191015155622.png
2019-10-15 15:57

如图,`AEBCF` 是正五边形,`\triangle AED` 是正三角形,则 $\angle ABD=30\du$。

证明:因为 `A`, `D`, `B` 在以 `E` 为圆心的圆上,故 $\angle ABD=\angle AED/2=30\du$。

另外还易知 $\angle BCD=54\du$, $\angle DBC=42\du$,所有数据均与 1# 相符,亦即上图中的 `A`, `B`, `C`, `D` 就是 1# 题目的 `A`, `B`, `C`, `D`,因此所求的 $\angle BAD=\angle EAD-\angle EAB=60\du-36\du=24\du$。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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感谢!@kuing @hejoseph

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回复 3# facebooker

https://baijiahao.baidu.com/s?id=1634668725368267491

还真找到了,但不是标答。

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如图,作正$ \Delta ABM, $再作$ \triangle AMN\cong \triangle AMC ,$分别作正$ \triangle CMQ, $正$ \triangle MNP $。
   
214.png
2019-10-23 09:42

有$ CNPQ $四点共园且$ M $为圆心,得\[ \angle QCP=\dfrac{1}{2}\angle QMP=18\du \riff\angle CAP=\angle ACP=36\du \riff AP=CP \]知点$ D、P $分别在$ AM、AC $的垂直平分线$ ED、FP $上,由对称性(或证两颜色三角形全等)得\[ DC=PM\riff\triangle ACD\cong \triangle AMP \riff \angle DAC=\angle PAM=12\du \]故\[ \angle DAB=24\du  \]

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回复 10# isee
因看不明白连接故发11楼

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回复 12# 乌贼

你总算来了

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回复 11# 乌贼
学习了。

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回复 11# 乌贼

你的及时赶到 完美了避免了尴尬

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还有简单的 ,作正$ \triangle ABE $和等腰梯形$ ABCF $。
215.png
2019-10-25 00:39

有\[ \angle CDF=\angle EFD=84\du \\\angle DCE=\angle FEC=96\du  \]所以$ DCEF $为等腰梯形,故\[ AF=FC=DE=AD \riff \angle DAF=48\du \]得\[ \angle BAD=24\du  \]

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001.png
2020-2-23 03:12

不同时间不同解法,$ ADBC $为等腰梯形,$ \triangle BCE $为正三角形,同颜色三角形全等

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回复 17# 乌贼
和kuing锅一样真神人也!凌晨三点在线!Orz

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