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初等数学讨论
» 焦点三角形角平分线有关的椭圆离心率问题
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发表于 2019-10-14 15:47
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只看该作者
[几何]
焦点三角形角平分线有关的椭圆离心率问题
本帖最后由 敬畏数学 于 2019-10-14 15:48 编辑
已知$ F_1, F_2 $为椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点,点P是椭圆上任意一点(异于左右顶点),$ PM$平分角$ F_1PF_2 $(M为平分线与X轴交点), 且$ 2|PM|^2=|PF_1| |PF_2|$,则椭圆的离心率______。
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发表于 2019-10-14 16:30
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只看该作者
选填 直接特殊值
不妨p为上顶点
2 b平方=a平方
e=
二分之根号二
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kuing
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发表于 2019-10-14 16:31
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只看该作者
角平分线长公式 `w_a=\dfrac{\sqrt{bc(a+b+c)(b+c-a)}}{b+c}` 套一下就行了吧(此式中的 `a` 不是题目的 `a`)
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发表于 2019-10-14 17:23
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只看该作者
在高手启发下想到:三角形角平分线向量表示:$ \vv{PM}=\dfrac{|PF_2|}{|PF_1|+|PF_2|}\vv{PF_1}+\dfrac{|PF_1|}{|PF_1|+|PF_2|}\vv{PF_2}$,从而导出三角形角平分线长公式!
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