免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

数列极限

F1A9EB144CBFDB3D552A6BB6C3A2907B.JPG
2019-10-10 13:39

求教!
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

本帖最后由 业余的业余 于 2019-10-13 09:22 编辑

观察可知,$x_n>1$ 对所有 $n$ 都成立。

考察函数 $f(x)=\cfrac {x^2}{1+\ln x}$, 有
$f'(x)=\cfrac{2x(1+\ln x)-x^2\frac 1x}{(1+\ln x)^2}=\cfrac{x+2x\ln x}{(1+\ln x)^2}$,
显然当 $x\ge 1$ 时 $f'(x)>0$ 恒成立。

由数列的递推关系,有 $x_{n+1}-x_n=\ln\left( \cfrac {1+f(x_n)}{1+f(x_{n-1})}\right)$

所以,$x_n>x_{n-1} \implies f(x_n)>f(x_{n-1}) \implies \cfrac {1+f(x_n)}{1+f(x_{n-1})}>1 \implies x_{n+1}>x_n$, 去掉中间的推理环节,这个式子告诉我们,如果 $x_n>x_{n-1}$ 则 $x_{n+1}>x_n$. 同样的推理适用于当 $x_n<x_{n-1}$ 的情形。由归纳法易证,数列$\{x_n\}$ 或者单调递增,或者单调递减,总之是单调的。

现证明 $\{x_n\}$ 有上界。一个笨办法是考察 数列递推式右边同形的函数 (把 $x_n$ 用 $x$ 替换)的单调性。只需考虑数列递增的情形,则会限制 $a$只能取到某个小的值,比如不大于 $100$,那么 $x_2<1+\ln(1+10000)<10<100$, 从而 $x_3<100, \cdots, x_n<100$. 期待不等式高手贡献简明的证法。

综上,数列收敛。不妨记其极限为 $b$, 于是有

$b=1+\ln(1+\frac {b^2}{1+\ln b})$

不会解。

TOP

题目的 n=2,3,... 应改为 n=1,2,...

显然恒有 `x_n>1`,设
\[g(x)=1+\ln\left( 1+\frac{x^2}{1+\ln x} \right),\quad x\geqslant1,\]即 `x_{n+1}=g(x_n)`,求导可得
\[g'(x)=\frac{x(1+2\ln x)}{(1+\ln x)(x^2+1+\ln x)},\]显然恒正,另一方面,由均值有
\begin{align*}
g'(x)&\leqslant\frac{x(1+2\ln x)}{(1+\ln x)\cdot2\sqrt{x^2(1+\ln x)}}\\
&=\frac{1+2\ln x}{2\sqrt{(1+\ln x)^3}}\\
&=\frac{4(1+2\ln x)}{\sqrt{(1+2\ln x+1+2\ln x+2)^3}}\\
&\leqslant\frac{4(1+2\ln x)}{\sqrt{27\cdot(1+2\ln x)\cdot(1+2\ln x)\cdot2}}\\
&=\frac4{3\sqrt6},
\end{align*}显然两不等号不能同时取等,所以
\[0<g'(x)<\frac4{3\sqrt6}<1,\]而 `g(1)>1`,由上式知 `g(x)=x` 在 `(1,+\infty)` 上有唯一解,记为 `b`,则
\[
\abs{x_{n+1}-b}=\abs{g(x_n)-g(b)}=\abs{g'(\xi)(x_n-b)}<\frac4{3\sqrt6}\abs{x_n-b},
\]由此可见 `x_n` 收敛到 `b`。

同样地,我也不会解出这个 `b` 的值
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

漂亮!

TOP

用软件算了一下,极限为2.40731682658246...
只有数值解,没有解析解...

TOP

回复 3# kuing
有没有啥办法证明这个b没有初等表达式哇,哈哈

TOP

或者证明这个超越方程没有解析解,完全没思路,也没找到相关文献

TOP

返回列表 回复 发帖