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[几何] 三角形的填空压轴题 不知道从何入手 求思路

$\triangle ABC$中,$G$为重心,$O$为外心.$AG=GO$,求$\cos A$的取值范围___
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暂时没啥巧妙的想法,上已知结论吧,由中线长公式易知 `9AG^2=2b^2+2c^2-a^2`,用向量方法易证 `9GO^2=9R^2-a^2-b^2-c^2`(参考 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =4942&pid=23439 的 3#),故此
\[AG=GO\iff b^2+c^2=3R^2\iff\sin^2B+\sin^2C=\frac34,\]接下来应该不会太难搞……暂且不撸,回头再想别的方法……

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下面这样撸好一点,至少不用知道什么已知结论。由条件有
\[
AG^2=GO^2=\bigl(\vv{AG}-\vv{AO}\bigr)^2=AG^2-2\vv{AG}\cdot\vv{AO}+R^2,
\]故
\[
R^2=2\vv{AG}\cdot\vv{AO}=\frac23\bigl(\vv{AB}+\vv{AC}\bigr)\cdot\vv{AO}=\frac13(b^2+c^2),
\]

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回复 3# kuing
向量解法

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回复 3# kuing

怎么确定$B-C$的范围?

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回复 5# isee

看看这样说行不行:不妨设 `B\leqslant C`,易证 `\sin^2B+\sin^2C=1-\cos(B-C)\cos(B+C)`,所以由上面得到的 `\sin^2B+\sin^2C=3/4` 得
\[\cos A=-\frac1{4\cos(B-C)}.\]
(1)当 `B`, `C` 均为锐角时,则 $B\nearrow\riff\sin B\nearrow\riff\sin C\searrow\riff C\searrow\riff\cos(B-C)\nearrow$,故由上式知当 $(B,C)\to(0,60\du)$ 时 `\cos A` 趋向最小,当 `B=C` 时 `\cos A` 最大,即 `\cos A\in(-1/2,-1/4]`;

(2)当 `C` 为钝角时,则 $B\nearrow\riff\sin B\nearrow\riff\sin C\searrow\riff C\nearrow\riff B+C\nearrow\riff\cos A\searrow$,故当 $(B,C)\to(0,120\du)$ 时 `\cos A` 趋向最小,且 `B` 可增加至使 `A\to0`,所以 `\cos A\in(1/2,1)`。

综上,`\cos A` 的取值范围是 `(-1/2,-1/4]\cup(1/2,1)`。

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nnnn.png
2019-10-11 09:47

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回复 7# 游客

有道理,不过还需要作一点讨论。
如上图的 M 继续向左移时,会有一刻使 C 跑到 A 处,这一点得去掉,并且在此之前 A 为锐角,之后为钝角。

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回复 6# kuing

答案完全正确!不过标答是用几乎纯几何法算的

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续 8#:动图演示:
A.gif
2019-10-11 15:19
A、C 重合的一刻:
重合时.png
2019-10-11 15:18
(易证此时 `OM=R/2`)
所以,当 `OM\in(R/2,R)` 时,`A` 为锐角,`\cos A=OM/R\in(1/2,1)`;
而 `OM` 最小取到 `R/4`,当 `OM\in[R/4,R/2)` 时,`A` 为钝角,`\cos A=-OM/R\in(-1/2,1/4]`。
综上同样得答案 `(-1/2,-1/4]\cup(1/2,1)`。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 9# facebooker

贴一下答标呗

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回复 11# kuing

基本上就是楼上这个动态图了 你的基本上就是标答了

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回复 12# facebooker

全靠游客的提示

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