命题：`\triangle ABC` 中，对任意 `\lambda\geqslant0`，有
\[\lambda a^2+bc\geqslant2\sqrt{4\lambda+1}S,\]当 `b=c` 且 `\cot A=2\lambda/\sqrt{4\lambda+1}` 时取等。
证明：
\begin{align*}
\LHS-\RHS&=\lambda(b^2+c^2-2bc\cos A)+bc-\sqrt{4\lambda+1}bc\sin A\\
&\geqslant\lambda(2bc-2bc\cos A)+bc-\sqrt{4\lambda+1}bc\sin A\\
&=\bigl( 2\lambda+1-2\lambda\cos A-\sqrt{4\lambda+1}\sin A \bigr)bc\\
&\geqslant\bigl( 2\lambda+1-\sqrt{(2\lambda)^2+4\lambda+1} \bigr)bc\\
&=0.
\end{align*}（其实就是照搬之前这帖 http://kuing.orzweb.net/redirect ... =4413&pid=20005 的方法，改个写法罢了） |
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发表于 2019-9-23 16:47
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发表于 2019-9-23 17:07
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