2)$\cos^2A+\cos^2B+\cos^2C=2$
Prove:\[\sum\dfrac{\sin A\sin B}{\cos A\cos B}\leqslant \frac{2}{3}\]facebooker 发表于 2019-9-6 17:44 (2)为何不干脆写成 `\sum\tan A\tan B`??
由条件可令 `\cos^2A=(y+z)/(x+y+z)` 等,其中 `x`, `y`, `z>0`,则
\[
\abs{\tan A}=\sqrt{\frac1{\cos^2A}-1}=\sqrt{\frac x{y+z}},
\]所以
\begin{align*}
\LHS&\leqslant\sum\abs{\tan A\tan B}\\
&=\sum\sqrt{\frac{xy}{(y+z)(z+x)}}\\
&\leqslant\frac12\sum\left( \frac y{y+z}+\frac x{z+x} \right)\\
&=\frac32.
\end{align*} |