本帖最后由 青青子衿 于 2019-9-5 12:51 编辑
回复 5# kuing
猜想：记 `f(n)` 为如下集合的元素个数
\[\bigcup_{k=1}^n\left\{\left\lfloor\frac{k^2}n\right\rfloor\right\},\]则
\[f(n)=n+1-\left\lceil\frac n4\right\rceil.\]
注：`\lfloor x\rfloor` 表示向下取整，`\lceil x\rceil` 表示向下取整。
kuing 发表于 2019-9-5 02:16 
好像上面的猜想是正确的。
其中，下面这几个通式在整数上是等价的：
\begin{align*}
&&\operatorname{floor}\left(\frac{3n+4}{4}\right)&
\quad\Leftrightarrow\quad
n+1-\operatorname{ceil}\left(\frac{n}{4}\right)\\
&&\Updownarrow\qquad&\\
&&\operatorname{floor}\left(\frac{3n}{4}\right)+1&\\
\end{align*}
参看：
A037915
a(n) = floor((3*n + 4)/4).
It appears that a (n) = number of distinct values among
Floor(i^2 / n) for i = 0, 1, 2, ..., n. - Samuel Vodovoz, Jun 15 2015. |
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发表于 2019-9-3 22:11
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