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[组合] 有6张卡片,上面分别写着数字1,1,2,2,3,3

有6张卡片,上面分别写着数字1,1,2,2,3,3,现随意放在桌面上排成一排做成一个6位数,则得到相同数字不相邻的六位数的概率是多少?

$这道题,有的算出答案是\frac{1}{3},有的算出是\frac{1}{5}。$

他们都把总的6位数看成720个,显然,应该是90个。

您怎么看?
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回复 1# 走走看看

https://iask.sina.com.cn/b/12970653.html
上面的答案:
    先把123全排列有3!种方法,然后插1有2种方法,再插2有3种方法,再插3有4种方法,一共有3!*2*3*4=144种方法。所以概率是
144/6!=1/5

我觉得123混杂在一起,肯定有重复的数字,一定没有144种。

https://www.yulucn.com/question/62199104
上面的答案:
排成六位数总排法有6*5*4*3*2*1=720种,即排列6A6,而符合要求的有:
个位上:6种,即6C1 (6个里选1个,假设选中1)
十位上:4种,即4C1 (此时,只有2,2,3,3可供选择,假设选中2)
百位上:(此时,有1,3,3可供选择)
假设选1:则有1种(因为只剩一个1了),(现在还剩2,3,3)此时剩下的三位只能是323排列,有2*1*1=2种,即2C1*1C1*1C1.此时从百位到十万位共有1*2=2种;
假设选3:则有2种,即2C1(因为有两个3),(现在还剩1,2,3)此时只能123、213排列,有4种,即2C1*2C1*1C1.此时从百位到十万位共有2*4=8种.
合计:从百位到十万位共有2+8=10种
所以符合要求的有6*4*10=240种
所以答案是240/720=1/3

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枚举可知不相邻只有 5 类情况:
XYXZYZ
XYZXYZ
XYZXZY
XYZYXZ
XYZYZX
这里 XYZ 可以是 123 的任意排列,所以是 `5\times3!=30`,而总数为 `C_6^2C_4^2C_2^2=90`,因此概率为 `30/90=1/3`。

总数看成 `6!=720` 其实也没问题,只不过它不是指 6 位数有多少,而是卡片的排列有多少(不看其数字)。
这时依然可以按楼上的方法算,也就是将相同的 X, Y, Z 看成是不同的,因此需要再乘 `2^3`,即 `5\times3!\times2^3=240`,除以 `720` 同样得出 `1/3`。

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回复 3# kuing

谢谢Kuing!

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