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[不等式] 求证一个不等式

求证一个不等式:
已知:$a,b\inR,a+b=4,$求证:$\sqrt{a^2+1}+\sqrt{2b^2+12}\geqslant 3\sqrt{5}$.
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这里有柯西不等式的证法和切线法的证法和光学折射(都是早已熟知的做法了,至少我在2012年左右人教论坛的时候就写过类似的解答)
柯西不等式的证法:http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yvt6.html
切线法的证法:http://blog.sina.com.cn/s/blog_54df069f0102yvt7.html
这两种证法要么先猜到取等条件,那么过程就是轻而易举的事情;要么待定系数法解方程组(如果方程组不好解,也可以猜方程组的解)
暂没有光学折射的做法。
其实还可以对第二个根号进行放缩,使$b^2$的系数变成1,然后用闵科夫斯基不等式秒杀!
本题除了最小值,还有最大值(by anzhengping)),详见下面:
blog9.jpg
2019-8-24 14:34

但没有证明过程。
妙不可言,不明其妙,不着一字,各释其妙!

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