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[函数] 两道三角求最值题

两道三角求最值题
1.求函数$f(x)=5cos2x+18sinx+8cosx$的最大值。
2.在$△ABC$中,求$P=sinA+sinB+\sqrt{6}sinC $的最大值。
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第二题,「嵌入不等式」伺候!

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第二题,「嵌入不等式」伺候!
青青子衿 发表于 2019-8-16 13:59
有两个系数相同,和差化积就成,何必使用牛刀?

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第二题:O(∩_∩)O哈!搜索了一下发现,楼主在去年的同一天(太巧了吧)就问过同类的题:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5538

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1、记 `t=\cos x`,待定正数 `u`,有
\begin{align*}
f(x)&\leqslant5(2t^2-1)+18\sqrt{1-t^2}+8t\\
&\leqslant5(2t^2-1)+\frac9u(u^2+1-t^2)+8t\\
&=\left( 10-\frac9u \right)t^2+8t+9u+\frac9u-5,
\end{align*}于是应令
\[\led
t&=-\frac4{10-\frac9u},\\
u^2&=1-t^2,
\endled\]可以预见,如果直接代入消元必将出现四次方程,也就是说,这道题如果系数随便写,就会没法做,故此原题的数据必然经过设计(其实有经验的一看就猜到那些数字不是随便给的),亦即此方程组必然有简单解,所以此处更适宜去目测,由 `t^2+u^2=1` 可尝试勾股数,一试即知简单解是 `t=4/5`, `u=3/5`。

心中有数后,扔掉待定的过程,重写装逼过程如下:
\[f(x)=\frac{93}5-\frac35(5\sin x-3)^2-\frac15(5\cos x-4)^2\leqslant\frac{93}5,\]当 `x=\arctan(3/4)` 时取等。

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回复 5# kuing

续:反之也可以看出,命制此类题其实也很容易,比如我另取一组勾股数 5, 12, 13,再随便搭配个简单的系数,就构造出另一题:求 `13\cos2x+40\sin x+48\cos x` 的最大值。

带根号也行,比如:求 `\cos2x+4\sin x+2\sqrt3\cos x` 的最大值。(你应该能猜出我用了啥数来构造吧?

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回复 4# kuing
呵呵,神呀!我不记得这个了

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回复 3# kuing
第2题的答案是多少呢?

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回复 8# lemondian

方法看那链接,计算请自行完成。

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回复 2# 青青子衿

嵌入不等式如何搞?写一发吧

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回复 9# kuing
我算得是$\dfrac{5\sqrt{10}}{4}$,不知是否对?没啥信心

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看看这个做法,对不对?
081602.jpg
2019-8-16 22:49

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第一题,还可以做代换x到x-pi/4(左右平移不改变值域),转化为kuing早就研究非常透的一道题了

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本帖最后由 山川浮云 于 2020-3-3 22:55 编辑

回复 6# kuing

下面的题和他同源,但用不来你那方法,求指导
求函数$f(x)=2\sin x+\cos x+\sin x\cos x+1的最大和最小值.$
有解决此类问题的专题吗?分享一下

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回复 14# 山川浮云

最小值简单:`f(x)=(1+\sin x)(2+\cos x)-1\ge-1`;
然而最大值却没简单解,扔掉吧……

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回复 15# kuing

就说嘛,万能公式后求导成了根不可手算的题,估计是给人挖坑而多加一问。不过没结果也算是一种结果

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