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MMC(A)作弊之比较大小

例1:比较 `\log_34` 与 `\log_46` 的大小。

目标是找一个分数介于两者之间,且分母要最小。方法以前何版主也介绍过了,就是用连分数,但对数的连分数展开我不懂,所以开挂作弊:
  1. ContinuedFraction[Log[3, 4], 10]
  2. ContinuedFraction[Log[4, 6], 10]
复制代码
输出:
{1, 3, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 46, 1}
{1, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 2}
也就是
\begin{align*}
\log_34&=1+\frac1{3+\frac1{1+\frac1{4+\cdots}}},\\
\log_46&=1+\frac1{3+\frac1{2+\frac1{2+\cdots}}},
\end{align*}可见后者大,而在 `\left( 1+\frac1{4+\cdots},2+\frac1{2+\cdots} \right)` 内的最小整数是 `2`,所以要找的分数就是:
  1. FromContinuedFraction[{1, 3, 2}]
复制代码
输出:9/7。

于是,写过程时就可以这样:
解:做乘法计算知 `4^7<3^9` 且 `4^9<6^7`,所以 `\log_34<9/7<\log_46`。
(实际根本没去做乘法计算,都已经明知成立了还算个啥

步骤总结:
一、用 ContinuedFraction 将两数展开为连分数;
二、将第一个不同的数用较小者 +1 代之,后面扔掉,再用 FromContinuedFraction 变回回去;
三、写“乘法计算过程”忽悠人。

没有 MMC(A)?没关系,还有的线的 wolframalpha 嘛(论坛首页友情链接有),并且语法可以很随意:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=continuedfraction(log(3,4),10)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=continuedfraction(log(4,6),10)
https://www.wolframalpha.com/input/?i=fromcontinuedfraction((1,3,2))

例2:证明 `\sqrt7^{\sqrt8}>\sqrt8^{\sqrt7}`。

注意这个需要先做一些变形,否则就算直接找到一个分数在两数之间,也无法写成“乘法计算过程”。

取对数后,易知其等价于
\[\log_27>\frac32\sqrt{\frac72},\]于是:
  1. ContinuedFraction[Log[2, 7], 10]
  2. ContinuedFraction[3/2*Sqrt[7/2], 10]
复制代码
输出:
{2, 1, 4, 5, 4, 5, 4, 1, 29, 1}
{2, 1, 4, 6, 4, 1, 4, 1, 4, 6}
然后
  1. FromContinuedFraction[{2, 1, 4, 6}]
复制代码
输出:87/31。

这回如果直接写“乘法计算过程”的话,恐怕忽悠不了人了:
做乘法计算知 `7^{31}>2^{87}` 且 `87^2\times8>31^2\times63`,所以
\[\log_27>\frac{87}{31}>\frac32\sqrt{\frac72}.\]
尼玛 `7^{31}>2^{87}`?!?!?!你算给我看看?!?!?!
所以这时还需要玩点技巧,取连分数的前三项 `2+\frac1{1+\frac14}=\frac{14}5`,也就是说 `7^5` 和 `2^{14}` 也挺接近,于是将 `7^{31}>2^{87}` 写成 `7^{5\times6+1}>2^{14\times6+3}`,即
\[\left( \frac{7^5}{2^{14}} \right)^6>\frac{2^3}7,\]做乘法计算变成
\[\left( 1+\frac{423}{16384} \right)^6>1+\frac17,\]由二项式定理或勃撸力可知只需证
\[6\cdot\frac{423}{16384}>\frac17,\]再次做乘法计算知成立,即得证。
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冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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大得也是不容易

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