本帖最后由 hbghlyj 于 2019-8-10 20:49 编辑
3.已知$a_1\leq a_2 \leq \cdots \leq a_n,b_1 \leq b_2\leq \cdots \leq b_n,c_i \geq 0(1\leq i \leq n,i \in \mathbf{Z})$,证明:$\sum c_i \sum c_ia_ib_i\geq\sum c_ia_i\sum c_ib_i$这里的$\sum$表示i取1到n的求和
8.如图给出某电路的局部简化图.设电阻a,c并联,并在图中取OA=a,OC=c,OB=b(a,b,c均不为0),考虑∠AOB=∠COB=60°,证明
(1)$\sqrt{a^2+b^2-ab}+\sqrt{b^2+c^2-bc} \geq \sqrt{a^2+c^2+ac}$
(2)当(1)中的不等式取等号时,OB=b为图中电路的总电阻(参考公式:并联电路中,有$\frac 1R=\sum_{i=1}^n\frac 1R_i$,这里的R表示总电阻,$R_i$表示支路电阻)
21.对于正数x,y,z有$(xy+yz+zx+1)(x+y+z)\geq \sqrt{6\pi(y+z)}$,设a,b,c皆为正数,证明
Ⅰ$\sum\frac{(a+b)^2}{c^2+ab}\geq 6$
Ⅱ$\sum {\frac{{a + bc}}{{{a^2} + a}}} \geq3$
26.已知实数$x_1,x_2,\cdots,x_{100}$满足$x_1+x_2+\cdots+x_{100}=1$且$\left|x_{k+1}-x_k\right|\lt\frac1{500},k=1,2,\cdots,99$,证明:存在整数$i_1,i_2,\cdots,i_{100}$满足$1\leq i_1\lt i_2\lt\cdots\lt i_{100}\leq 100$使得$\frac{49}{100}\leq\sum_{k=1}^{50}x_{i_k}\leq\frac{51}{100}$
27.已知三次复系数多项式$p(x)=az^3+3bz^2+3\bar{b}z+\bar{a}$满足其三个根均不同且模为1,证明:$2\left|a\bar{b}-b^2\right|+\left|b\right|^2<\left|a\right|^2$ |