繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 求助
返回列表
发帖
血狼王
发短消息
加为好友
血狼王
当前离线
UID
2548
帖子
206
主题
56
精华
0
积分
1179
威望
0
阅读权限
90
在线时间
297 小时
注册时间
2015-12-23
最后登录
2022-5-26
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2019-8-2 09:28
|
只看该作者
[组合]
求助
本帖最后由 血狼王 于 2019-8-2 09:29 编辑
下面是一道组合题,背景有点冷门
求 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-j} (-2)^k\frac{C_{n+k-1}^{k}C_{n-j}^{k}}{C_{2k}^{k}}$ 的值。
收藏
分享
分享到:
QQ空间
腾讯微博
腾讯朋友
血狼王,格罗特克斯(Grotex)是也。
AOPS的id:Grotex
血狼王
发短消息
加为好友
血狼王
当前离线
UID
2548
帖子
206
主题
56
精华
0
积分
1179
威望
0
阅读权限
90
在线时间
297 小时
注册时间
2015-12-23
最后登录
2022-5-26
2
#
发表于 2019-8-2 09:46
|
只看该作者
本帖最后由 血狼王 于 2019-8-2 10:29 编辑
背景是用伯恩斯坦(Bernstein)多项式基展开切比雪夫(Chebyshev)多项式……
怎么刚好是一对师徒?
血狼王,格罗特克斯(Grotex)是也。
AOPS的id:Grotex
TOP
血狼王
发短消息
加为好友
血狼王
当前离线
UID
2548
帖子
206
主题
56
精华
0
积分
1179
威望
0
阅读权限
90
在线时间
297 小时
注册时间
2015-12-23
最后登录
2022-5-26
3
#
发表于 2019-8-2 10:29
|
只看该作者
本帖最后由 血狼王 于 2019-8-2 10:31 编辑
因为我用maple化简之后发现它是个超几何函数,好像也只能到这里了吧.
最后我说一下用Bernstein展开Chebyshev(由于某些原因,在法语和德语中这个名字被转写成T开头,所以是$T_n(x)$)的结果
$$T_n(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^n \,_{2}F_{1}(n,-n+j;\frac{1}{2};\frac{1}{2})\cdot b_{j,n}(x)$$
其中
$T_n(x)$是第一型切比雪夫多项式,$b_{j,n}(x)$是$n$次伯恩斯坦多项式的第$j+1$个基多项式:
$$b_{j,n}(x)=C_{n}^{j} x^j(1-x)^{n-j}$$
$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)$是超几何函数。
血狼王,格罗特克斯(Grotex)是也。
AOPS的id:Grotex
TOP
血狼王
发短消息
加为好友
血狼王
当前离线
UID
2548
帖子
206
主题
56
精华
0
积分
1179
威望
0
阅读权限
90
在线时间
297 小时
注册时间
2015-12-23
最后登录
2022-5-26
4
#
发表于 2019-8-2 10:51
|
只看该作者
本帖最后由 血狼王 于 2019-8-2 10:52 编辑
同理,用类似方法可以证明勒让德多项式$P_n(x)$有以下展开:
$$P_n(x)=\displaystyle\sum_{j=0}^n \,_{2}F_{1}(n+1,-n+j;1;\frac{1}{2})\cdot b_{j,n}(x)$$
血狼王,格罗特克斯(Grotex)是也。
AOPS的id:Grotex
TOP
血狼王
发短消息
加为好友
血狼王
当前离线
UID
2548
帖子
206
主题
56
精华
0
积分
1179
威望
0
阅读权限
90
在线时间
297 小时
注册时间
2015-12-23
最后登录
2022-5-26
5
#
发表于 2019-8-31 15:55
|
只看该作者
本帖最后由 血狼王 于 2019-8-31 16:19 编辑
这里存一下文字:
狼正浩P函数,是用Newton法生成分形时使用的一种特定函数。
其具有以下形式:
$$\displaystyle P(z)=z^{\gamma}\prod_{i=1}^n (z-\alpha_i)^{\beta_i}$$
其中$\alpha_i、\beta_i、\gamma$满足:
\begin{align*}
\sum_{i=1}^n \beta_i+\gamma=1 \\
\sum_{i=1}^n \alpha_i^j\beta_i=0\; (j=1..n-1) \\
\sum_{i=1}^n \alpha_i^n\beta_i=\delta
\end{align*}
且$\alpha_i(预先确定)、\beta_i、\gamma、\delta$均为高斯整数(Gaussian Integer)。
TOP
血狼王
发短消息
加为好友
血狼王
当前离线
UID
2548
帖子
206
主题
56
精华
0
积分
1179
威望
0
阅读权限
90
在线时间
297 小时
注册时间
2015-12-23
最后登录
2022-5-26
6
#
发表于 2019-8-31 16:09
|
只看该作者
本帖最后由 血狼王 于 2019-8-31 16:19 编辑
将P(z)当作Newton法求解的函数,进行迭代,即可得到狼正浩P分形。
实际计算中使用以下格式:
$$\displaystyle \dot{z}=z(1-\frac{1}{\sum_{i=1}^n \frac{\beta_i}{1-\alpha_i z^{-1}}+\gamma})$$
在圆环域$|z|>0$内对$\dot{z}$做Laurant展开即得
$$\displaystyle \dot{z}=\delta z^{1-n}+o(z^{1-n})$$
所以狼正浩P分形映射具有将无穷远点映射到有限区域上的特征。
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]