[不等式] 西西的不等式玩不动啊

$x,y∈R$ 求$3\sqrt{x^2+y^2}+5\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}+\sqrt{5}(\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-1)^2})$的最小值

猜出答案很容易就是不会做。大佬帮忙！

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kuing

2^#

发表于 2019-7-28 22:49 | 只看该作者

设 `P(x,y)`, `A(0,0)`, `C(1,1)`, `B(1,0)`, `D(0,1)`，原式就是 `3PA+5PC+\sqrt5(PB+PD)`，假设取最小值时 `P` 不在直线 `AC` 上，作 `P` 在 `AC` 上的射影 `P'`，显然 `PA>P'A`, `PC>P'C` 且 `PB+PD>P'B+P'D`（可通过作对称来说明），所以在 `P'` 上更小，因此最小值时 `P` 一定在直线 `AC` 上，这样就直接取 `y=x` 变成单变量函数，下略……

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