[几何] Kiepert双曲线

本帖最后由 hbghlyj 于 2022-3-23 23:34 编辑

https://www.zhihu.com/question/456186829/answer/18625312

要说清楚这个问题，我们最好引入Kiepert双曲线的概念.

以下$X$的下标均是Kimberling记号.

1. Kiepert双曲线的概念
其定义基于如下定理：

Theorem 1.1: 平面上三点$P_A,P_B,P_C$若使得$\triangle P_ABC,\triangle P_BCA,\triangle P_CAB$是顺相似的三个分别以$BC,CA,AB$为底边的等腰三角形, 则$AP_A,BP_B,CP_C$共点.

Proof. 设这三个等腰三角形的底角($\measuredangle CBP_A$等)为$\theta_P$,则

$\displaystyle\prod_{cyc}\frac{\sin\measuredangle BAP_A}{\sin\measuredangle CAP_A}=\prod_{cyc}\frac{\sin\measuredangle BAP_A}{BP_A}\cdot\frac{CP_A}{\sin\measuredangle CAP_A}=\prod_{cyc}\frac{\sin\measuredangle ABP_A}{\sin\measuredangle ACP_A}=-\prod_{cyc}\frac{\sin(\measuredangle ABC+\theta_P)}{\sin(\measuredangle BCA+\theta_P)}=-1.\\$$\quad\Box$

对于任意一组满足Theorem 1.1条件的$(\cdot_A,\cdot_B,\cdot_C)$,总记所共点为$\cdot$,$\measuredangle CB\cdot_A=\theta_\cdot$. 一个自然的问题是$\cdot$的定义域是什么.

Theorem 1.2: 设$(P_A,P_B,P_C)$满足Theorem 1.1的条件, 则$P$的轨迹为$\triangle ABC$的外接圆锥曲线.

Proof. 任取四组满足Theorem 1.1条件的点$(P_A,P_B,P_C),(Q_A,Q_B,Q_C),(R_A,R_B,R_C),(S_A,S_B,S_C)$. 则 $A(PQ,RS)=(P_AQ_A,R_AS_A)=(P_BQ_B,R_BS_B)=B(PQ,RS).\\$

故$A,B,P,Q,R,S$共圆锥曲线, 轮换地, $C$也在其上. $\quad\Box$

为了确定这条圆锥曲线, 我们取几种特殊情况.

Theorem 1.3: 重心$X_2$, 垂心$X_4$均在Theorem 1.2中的圆锥曲线上.

Proof. 取$\theta_P=0$, 则$P\equiv X_2$;取$\theta_P=\dfrac{\pi}{2}$, 则$P\equiv X_4$.$\quad\Box$

回顾圆锥曲线是等轴双曲线的充要条件:

Theorem 1.4: 经过一个垂心组的圆锥曲线必为等轴双曲线; 等轴双曲线的内接三角形的垂心亦在其上; 三角形外接等轴双曲线的等角共轭像是过外心的直线.

Proof. 参见过反比例函数上任意三点连成的三条线段的中点的圆过定点吗？为什么？
$\quad\Box$

据此可以得到下面的推论.

Corollary 1.5: Theorem 1.2中的圆锥曲线是一条等轴双曲线,且为Brocard轴(外心$X_3$和陪位重心$X_6$的连线)的等角共轭像.

Brocard轴的等角共轭像便被称作Kiepert双曲线. 对Kiepert双曲线上的任意一个点$P$,我们可以构建$P$ 和$\theta_P$ 间的一一对应关系.

下面再回顾一个等轴双曲线的结果:

Theorem 1.6: 三角形的等轴外接双曲线与外接圆的第四交点与$X_4$是双曲线上的一对对径点. 作为推论, 等轴外接双曲线的中心总在九点圆上.

Proof. 参见过反比例函数上任意三点连成的三条线段的中点的圆过定点吗？为什么？
下面引入Kiepert双曲线的中心$X_{115}$和Kiepert双曲线与外接圆的第四交点Tarry点$X_{98}$ 以及$X_{98}$在外接圆上的对径点Steiner点$X_{99}$. 由Theorem 1.6显然有:

Corollary 1.7: $X_{115}$在九点圆上, $X_4$和$X_{98}$是Kiepert双曲线上的一对对径点.

2. Fermat点
先引入两个新的三角形特征点. Definition 2.1: $X_{13}$和$X_{14}$是Kiepert双曲线上的点,分别满足$\theta_{X_{13}}=-\dfrac{\pi}{3},\theta_{X_{14}}=\dfrac{\pi}{3}$. 这两个点分别是第一Fermat点和第二Fermat点.

回顾一些初中的全等知识, 我们明白:

Theorem 2.2: $\measuredangle AX_{13}B=\measuredangle BX_{13}C=\measuredangle CX_{13}A=\dfrac{2\pi}{3}$, 在$X_{14}$ 处亦有类似结论,但张角为$\dfrac{\pi}{3}$.

为了探究二者间的关系, 下面引入“反角共轭点”的概念.

Definition 2.3: 设$P$关于$\triangle ABC$三边的对称点分别为$P',P'',P'''$,则$\odot(BCP'),\odot(CAP''),\odot(ABP''')$共点,所共点记为$P$关于$\triangle ABC$的反角共轭点.

它最方便的刻画, 同样是体现其名称来历的刻画是下述结果:

Theorem 2.4: $P,Q$对三角形三边所张有向角均互为相反数当且仅当二者为反角共轭点.

Proof. Angle-chase.$\quad\Box$

据此回顾到"$1+1=2$", 再由Angle-chase就有:

Theorem 2.5: $P$和$Q$是一对反角共轭点当且仅当它们的等角共轭点关于外接圆互反.

所以由Theorem 2.2和Theorem 2.4, 我们有:

Corollary 2.6: $X_{13}$和$X_{14}$是一对反角共轭点.

而对于一般的反角共轭点, 我们有如下结果:

Theorem 2.7: 若$P,Q$是一对反角共轭点,则$P,Q$是过$ABCPQ$的圆锥曲线上的一对对径点.

Proof. 首先由Theorem 2.5知过$ABCPQ$的圆锥曲线做等角共轭之后经过$X_3$, 于是$X_4$也在这条双曲线上,也即是等轴双曲线. 故$\triangle BPC$的垂心$H$也在其上. 设双曲线的中心为$O$, 则$O$在$\triangle BPC$的九点圆上, 于是由位似知$P$关于$O$的对称点$Q'$在$\odot(BHC)$上, 而熟知$P$关于$BC$的对称点$P'$也在其上, 于是$Q'$在$\odot(BP'C)$上, 同理可证另外两侧, 于是$Q'\equiv Q$, 即确实是反角共轭点. $\quad\Box$

Remark 2.8: 这事实上说明反角共轭点的连线中点在九点圆上, 这点也可以用位似直接说明, 甚至更进一步地,中点是$ABCP$的Poncelet点.

作为推论:

Corollary 2.9: $X_{115}$是$X_{13}X_{14}$的中点.

这正是题主的问题一.
3. Kiepert双曲线上的相反数
我们知道从Kiepert双曲线到$(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]$的映射$\theta_\cdot$是一个双射. 但是这显然有些破坏对称性了, 为了优美起见, 我们定义从Kiepert双曲线到一维实射影空间$\mathbb{R}P^1$的双射$\tau$, 其满足$\tau(P)=\tan\theta_P$. 这相当于在Kiepert双曲线上定义了一个代数结构. 我们不妨就将二者等同看待, 例如:对于Kiepert双曲线上一对点$P,Q$, 称它们互为相反数即是说$\tau(P)=-\tau(Q)$. 对于这样的点,有一个优美的结论:

Theorem 3.1: 设$P,Q$是Kiepert双曲线上的一对互为相反数的点,则$X_6$在$PQ$上.
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Proof. 设$X_6$的反Ceva三角形的$A$-顶点和$B$-顶点分别为$X_6^1,X_6^2$(也即切线三角形的两个顶点).设$P_AQ_A\cap AB=S$,$P_BQ_B\cap AC=R$.则由$\triangle ARC\sim\triangle BX_6^1C$知$SP_AQ_AX_6^1\sim X_6^2Q_BP_BR$,这说明

$A(BP,QX_6)=(SP_A,Q_AX_6^1)=(X_6^2Q_B,P_BR)=(RP_B,Q_BX_6^2)=B(AP,QX_6)$,

于是$P,Q,X_6$ 共线.$\quad\Box$

根据两个Fermat点的定义可以直接看出二者为相反数, 于是直接有:

Corollary 3.2: $X_{6}$在$X_{13}X_{14}$上.

极端的情况是$P,Q$重合,也即$\tau(P)=0$或$\tau(P)=\infty$,此时可得到:

Corollary 3.3: $X_6$关于Kiepert双曲线的极线是$X_2X_4$,也即Euler线.

我们接着回顾一个小结果:

Theorem 3.4: 一圆锥曲线上有两点$U,V$, 则$UV$中点与$UV$对此圆锥曲线的极点的连线过此圆锥曲线的中心.

Proof. 注意到这三点均在$UV$上无穷远点对此圆锥曲线的极线上即可. $\quad\Box$

所以结合Corollary 2.9, Corollary 3.2, Corollary 3.3, Theorem 3.4就得到:

Corollary 3.5: $X_{13}X_{14}$过$X_2X_4$的中点$X_{381}$.

这正是题主的问题二.

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