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[几何] 撸题集 P.585 题目 4.10.7 我那解法重写一下

今天减压群里又聊起《撸题集》P.585 题目 4.10.6 的 cosA/sinB+cosB/sinA=2 这道经典题,而书上的下一题是当时何版对此题的推广问题:
QQ截图20190720171052.png
2019-7-20 17:44

贴题者    hejoseph
题目出处    贴题者对上一题的改编
我当时的解法开头是这样的:
QQ截图20190720171350.png
2019-7-20 17:44

首先(1)那里笔误,“f(a,b,t)≡0”应为 ≡2,这是小问题,重点是下面的。

在后文的“注”当中,我说到:
注    在录入时一直没想明白当时第一步是怎么变过去的,有空得补充一下。还有就是其实直接分 t 的正负再用均值就行了,何必计算那个差呢?是为了不用多说取等条件?汗了,问以前的自己,还真没法答上。
当年懒,一说“有空XX”几乎就是不再看了,也不优化一下过程。
所以现在要做就是:补上开头的变形过程、扔掉多余的作差,重写过程。

解:由正弦定理及射影定理,有
\begin{align*}
\frac{\cos A}{\sin B}+\frac{\cos B}{\sin A}
&=\frac{c\cos A}{b\sin C}+\frac{c\cos B}{a\sin C}\\
&=\frac{b-a\cos C}{b\sin C}+\frac{a-b\cos C}{a\sin C}\\
&=\frac2{\sin C}-\left( \frac ab+\frac ba \right)\frac{\cos C}{\sin C},
\end{align*}因为 `a/b+b/a` 的范围是 `[2,+\infty)`,而当 `a/b+b/a=2` 时原式正好可以用半角公式化简为 `2\tan(C/2)`,所以原式的取值范围为
\[\led
&\{2\},&& C=90\du,\\
&\left(-\infty,2\tan\frac C2\right],&& C<90\du,\\
&\left[2\tan\frac C2,+\infty\right),&& C>90\du.
\endled\]

呐,这样写的过程跟书上比显然好多了吧,同时也更加显然地看出,当 `C` 为锐角时原式 `<2`,当 `C` 为钝角时原式 `>2`。
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想起来了,因为是分类的结果,良好的~

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