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[不等式] 切线法不等式

对满足$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=a+b+c$的正实数$a,b,c$,求证:$$\sum \frac{1}{(2a+b+c)^2} \leqslant \frac{3}{16}$$
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首先齐次化,等价于
\[\sum\frac1{(2a+b+c)^2}\leqslant\frac3{16}\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right)\frac1{a+b+c},\]再标准化,不妨设 `a+b+c=3`,化为
\[\sum\frac1{(a+3)^2}\leqslant\frac1{16}\left( \frac1a+\frac1b+\frac1c \right),\]即
\[\sum\left( \frac{16}{(a+3)^2}-\frac1a \right)\leqslant0,\]计算切线后作差,有
\[\frac{16}{(a+3)^2}-\frac1a-\frac{a-1}2=-\frac{(a-1)^2(a^2+7a+18)}{2a(a+3)^2}\leqslant0,\]所以
\[\sum\left( \frac{16}{(a+3)^2}-\frac1a \right)\leqslant\sum\frac{a-1}2=0,\]即得证。

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注:先齐次化(去掉条件)再标准化(又加条件),虽然是没问题的,但难免会有人怀疑其合理性,如果不想解释,或者只是懒得写太多的话,也可以将上述过程改写,形成一个吓人的恒等式,就能免去转化的步骤(还能起到装逼的效果):
\begin{align*}
&\frac1{(2a+b+c)^2}-\frac3{16a(a+b+c)}-\frac{9(2a-b-c)}{32(a+b+c)^3}\\
={}&\frac{-(2a-b-c)^2(16a^2+19ab+19ac+6b^2+12bc+6c^2)}{32a(a+b+c)^3(2a+b+c)^2}\leqslant0,
\end{align*}从而
\[\sum\frac1{(2a+b+c)^2}\leqslant\sum\left( \frac3{16a(a+b+c)}+\frac{9(2a-b-c)}{32(a+b+c)^3} \right)=\frac3{16}.\]
(呐,又传授装逼技巧了,你学会了吗?

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回复 3# kuing

装B效果太好,改卷老师可能快速判0算了半天二阶导,发现Jensen也可以解

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