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青青子衿

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tT
发表于 2019-7-13 21:30 | 只看该作者

求经过三条平行直线的圆柱面

本帖最后由 青青子衿 于 2019-7-13 21:33 编辑

求经过三条平行直线\(\,l_1\,\),\(\,l_2\,\),\(\,l_3\,\)的圆柱面方程，
其中\(\,l_1\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}1}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}1}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}1}}{Z}\,\),\(\quad\,l_2\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}2}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}2}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}2}}{Z}\,\),\(\quad\,l_3\colon\dfrac{x-x_{\overset{\,}3}}{X}=\dfrac{y-y_{\overset{\,}3}}{Y}=\dfrac{z-z_{\overset{\,}3}}{Z}\,\).
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tommywong

2#
发表于 2019-7-14 12:58 | 只看该作者
本帖最后由 tommywong 于 2019-7-14 13:02 编辑

回复 1# 青青子衿

設$(x_0,y_0,z_0)$係條腺嘅其中一點,$(x_1,y_1,z_1)$係條砲嘅其中一點,$(X,Y,Z)$係條砲嘅方向

$\begin{cases}
\displaystyle x'=x_1+X\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}\\
\displaystyle y'=y_1+Y\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}\\
\displaystyle z'=z_1+Z\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}\\
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2
=(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2
\end{cases}$就係成條砲

例如$(x_0,y_0,z_0)=(0,0,0),(x_1,y_1,z_1)=(1,0,0),(X,Y,Z)=(0,0,1)$
$x'=1,y'=0,z'=z$
$x^2+y^2+z^2=1+z^2\Rightarrow x^2+y^2=1$就係一支垂直勃起嘅砲

問題係點樣用$(x_1,y_1,z_1)$,$(x_2,y_2,z_2)$,$(x_3,y_3,z_3)$砌到$(x_0,y_0,z_0)$

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tommywong

3#
发表于 2019-7-14 16:20 | 只看该作者
本帖最后由 tommywong 于 2019-7-14 16:25 编辑

$\displaystyle (x_{21},y_{21},z_{21})=(x_2,y_2,z_2)
+\frac{X(x_1-x_2)+Y(y_1-y_2)+Z(z_1-z_2)}{X^2+Y^2+Z^2}(X,Y,Z)$
$\displaystyle (x_{31},y_{31},z_{31})=(x_3,y_3,z_3)
+\frac{X(x_1-x_3)+Y(y_1-y_3)+Z(z_1-z_3)}{X^2+Y^2+Z^2}(X,Y,Z)$

$r_x=(x_1,x_{21},x_{31}),r_y=(y_1,y_{21},y_{31}),r_z=(z_1,z_{21},z_{31})$
$r=(x_1^2+y_1^2+z_1^2,x_{21}^2+y_{21}^2+z_{21}^2,x_{31}^2+y_{31}^2+z_{31}^2),H=(1,1,1)$
$x_0=\displaystyle \frac{1}{2}
\frac{2
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r\\H\\r_z\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r\\r_y\\H\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}^2},
y_0=\displaystyle \frac{1}{2}
\frac{
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}H\\r\\r_z\end{vmatrix}
+2\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r\\H\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}^2},
z_0=\displaystyle \frac{1}{2}
\frac{
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}H\\r_y\\r\end{vmatrix}
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\H\\r\end{vmatrix}
+2\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}
\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\r_z\end{vmatrix}}
{\begin{vmatrix}H\\r_y\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\H\\r_z\end{vmatrix}^2
+\begin{vmatrix}r_x\\r_y\\H\end{vmatrix}^2}$

$\displaystyle (x',y',z')=(x_1,y_1,z_1)
+\frac{X(x-x_1)+Y(y-y_1)+Z(z-z_1)}{X^2+Y^2+Z^2}(X,Y,Z)$

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=(x'-x_0)^2+(y'-y_0)^2+(z'-z_0)^2$
  1. clc;clear;
  2. x1=1;y1=0;z1=0;
  3. x2=-1;y2=0;z2=0;
  4. x3=1;y3=1;z3=1;
  5. X=1;Y=0;Z=1;

  7. x21=x2+X*(X*(x1-x2)+Y*(y1-y2)+Z*(z1-z2))/(X^2+Y^2+Z^2);
  8. y21=y2+Y*(X*(x1-x2)+Y*(y1-y2)+Z*(z1-z2))/(X^2+Y^2+Z^2);
  9. z21=z2+Z*(X*(x1-x2)+Y*(y1-y2)+Z*(z1-z2))/(X^2+Y^2+Z^2);
  10. x31=x3+X*(X*(x1-x3)+Y*(y1-y3)+Z*(z1-z3))/(X^2+Y^2+Z^2);
  11. y31=y3+Y*(X*(x1-x3)+Y*(y1-y3)+Z*(z1-z3))/(X^2+Y^2+Z^2);
  12. z31=z3+Z*(X*(x1-x3)+Y*(y1-y3)+Z*(z1-z3))/(X^2+Y^2+Z^2);

  14. rx=[x1,x21,x31];ry=[y1,y21,y31];rz=[z1,z21,z31];
  15. r=rx.^2+ry.^2+rz.^2;H=[1,1,1];
  16. x0=(2*det([H;ry;rz])*det([rx;ry;rz])+...
  17.     det([rx;H;rz])*det([r;H;rz])+...
  18.     det([rx;ry;H])*det([r;ry;H]))/...
  19.     (det([H;ry;rz])^2+det([rx;H;rz])^2+det([rx;ry;H])^2)/2;
  20. y0=(det([H;ry;rz])*det([H;r;rz])+...
  21.     2*det([rx;H;rz])*det([rx;ry;rz])+...
  22.     det([rx;ry;H])*det([rx;r;H]))/...
  23.     (det([H;ry;rz])^2+det([rx;H;rz])^2+det([rx;ry;H])^2)/2;
  24. z0=(det([H;ry;rz])*det([H;ry;r])+...
  25.     det([rx;H;rz])*det([rx;H;r])+...
  26.     2*det([rx;ry;H])*det([rx;ry;rz]))/...
  27.     (det([H;ry;rz])^2+det([rx;H;rz])^2+det([rx;ry;H])^2)/2;

  29. syms x y z;
  30. xt=x1+X*(X*(x-x1)+Y*(y-y1)+Z*(z-z1))/(X^2+Y^2+Z^2);
  31. yt=y1+Y*(X*(x-x1)+Y*(y-y1)+Z*(z-z1))/(X^2+Y^2+Z^2);
  32. zt=z1+Z*(X*(x-x1)+Y*(y-y1)+Z*(z-z1))/(X^2+Y^2+Z^2);
  33. expand((x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2-(xt-x0)^2-(yt-y0)^2-(zt-z0)^2)
复制代码
代碼例子: $(x_1,y_1,z_1)=(1,0,0),(x_2,y_2,z_2)=(-1,0,0),(x_3,y_3,z_3)=(1,1,1),(X,Y,Z)=(1,0,1)$
輸出結果: $\displaystyle \frac{x^2}{2} - xz + y^2 - \frac{y}{2} + \frac{z}{2} - \frac{1}{2}$

wolframalpha圖
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现充已死，エロ当立。
维基用户页：https://zh.wikipedia.org/wiki/User:Tttfffkkk/
Notable algebra methods：https://artofproblemsolving.com/community/c728438
《方幂和及其推广和式》 数学学习与研究2016.

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kuing

4#
发表于 2019-7-14 16:30 | 只看该作者
回复 2# tommywong

「垂直勃起嘅砲」

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青青子衿

5#
发表于 2019-7-15 20:09 | 只看该作者
本帖最后由 青青子衿 于 2020-6-5 14:50 编辑

回复 2# tommywong
我想了一个笨办法，借用二楼（作垂足）的方法可以得到原点关于三条平行直线上的垂足（一共三个点）。
明显，这三个垂足与原点共面。过这三个点可以作半径最小的球面，球面方程由如下链接中的帖子给出
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6274
接着做该球面沿着三条直线方向向量的方向作外切柱面，即可得到结果。
球面沿着给定方向外切柱面的方程相对比较简单。
\[ \left(X^2+Y^2+Z^2\right)\left((x-x_{\overset{\,}0})^2+(y-y_{\overset{\,}0})^2+(z-z_{\overset{\,}0})^2-R^2\right)=\left(X\cdot(x-x_{\overset{\,}0})+Y\cdot(y-y_{\overset{\,}0})+Z\cdot(z-z_{\overset{\,}0})\right)^2 \]

\[ \begin{vmatrix}
x-x_{\overset{\,}0}&y-y_{\overset{\,}0}\\
X&Y\\
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
y-y_{\overset{\,}0}&z-z_{\overset{\,}0}\\
Y&Z\\
\end{vmatrix}^2+\begin{vmatrix}
z-z_{\overset{\,}0}&x-x_{\overset{\,}0}\\
Z&X\\
\end{vmatrix}^2=\left(X^2+Y^2+Z^2\right)R^2 \]
...
  1. (+(x^2 + Subscript[x, 0]^2) (Y^2 + Z^2)
  2.   + (y^2 + Subscript[y, 0]^2) (X^2 + Z^2)
  3.   + (z^2 + Subscript[z, 0]^2) (X^2 + Y^2)
  4.   + (x*y + Subscript[x, 0] Subscript[y, 0]) (-2 X*Y)
  5.   + (y*z + Subscript[y, 0] Subscript[z, 0]) (-2 Y*Z)
  6.   + (x*z + Subscript[x, 0] Subscript[z, 0]) (-2 X*Z)
  7.   + x*(-2 ((X^2 + Y^2 + Z^2) Subscript[x, 0] -
  8.        X*(X*Subscript[x, 0] + Y*Subscript[y, 0] + Z*Subscript[z, 0])))
  9.   + y*(-2 ((X^2 + Y^2 + Z^2) Subscript[y, 0] -
  10.        Y*(X*Subscript[x, 0] + Y*Subscript[y, 0] + Z*Subscript[z, 0])))
  11.   + z*(-2 ((X^2 + Y^2 + Z^2) Subscript[z, 0] -
  12.        Z*(X*Subscript[x, 0] + Y*Subscript[y, 0] + Z*Subscript[z, 0])))
  13.   - R^2 (X^2 + Y^2 + Z^2)) // Expand
复制代码
...

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青青子衿

6#
发表于 2019-7-26 00:19 | 只看该作者
本帖最后由 青青子衿 于 2019-7-26 19:17 编辑

回复 5# 青青子衿

给定三点\(\,P_{\overset{\,}1}(x_{\overset{\,}1},y_{\overset{\,}1},z_{\overset{\,}1})\,\)、\(\,P_{\overset{\,}2}(x_{\overset{\,}2},y_{\overset{\,}2},z_{\overset{\,}2})\,\)、\(\,P_{\overset{\,}3}(x_{\overset{\,}3},y_{\overset{\,}3},z_{\overset{\,}3})\,\)
三点所确定的平面法向量为\(\,\boldsymbol{n}=\{X,Y,Z\}\,\)
过此三点\(\,P_{\overset{\,}1}\,\)、\(\,P_{\overset{\,}2}\,\)、\(\,P_{\overset{\,}3}\,\)且以此三点所确定平面法向量\(\,\boldsymbol{n}\,\)为旋转轴方向向量的圆柱面
\[ \large{\color{black}{F(x,y,z)=\Big(G(x,y,z)\Big)^2}\,} \]

\begin{align*}
F(x,y,z)&\triangleq
\begin{vmatrix}   
\begin{vmatrix}   
\scriptsize{\color{red}{x^2+y^2+z^2}}&{\color{blue}y}&{\color{blue}z}&1\\   
\scriptsize{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}&y_1&z_1&1\\   
\scriptsize{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}&y_2&z_2&1\\   
\scriptsize{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}&   
\begin{vmatrix}   
{\color{blue}x}&\scriptsize{\color{red}{x^2+y^2+z^2}}&{\color{blue}z}&1\\   
x_1&\scriptsize{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}&z_1&1\\   
x_2&\scriptsize{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}&z_2&1\\   
x_3&\scriptsize{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}&z_3&1   
\end{vmatrix}  
&\begin{vmatrix}   
{\color{blue}x}&{\color{blue}y}&\scriptsize{\color{red}{x^2+y^2+z^2}}&1\\   
x_1&y_1&\scriptsize{{x_1}^2+{y_1}^2+{z_1}^2}&1\\   
x_2&y_2&\scriptsize{{x_2}^2+{y_2}^2+{z_2}^2}&1\\   
x_3&y_3&\scriptsize{{x_3}^2+{y_3}^2+{z_3}^2}&1   
\end{vmatrix}  
&  
{\color{red}2}\begin{vmatrix}   
{\color{blue}x}&{\color{blue}y}&{\color{blue}z}&1\\   
x_1&y_1&z_1&1\\   
x_2&y_2&z_2&1\\   
x_3&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}  
\\   
x_1&y_1&z_1&1\\   
x_2&y_2&z_2&1\\   
x_3&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}\\
\\
G(x,y,z)&\triangleq
\begin{vmatrix}     
{\color{blue}x}&{\color{blue}y}&{\color{blue}z}&1\\     
x_1&y_1&z_1&1\\     
x_2&y_2&z_2&1\\     
x_3&y_3&z_3&1   
\end{vmatrix}
\end{align*}

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