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[几何] 轨迹问题(到两定圆距离相等的点)

(2017温州十五校高二上期末)点$P$到图形$C$上每一点的距离的最小值称为点$P$到图形$C$的距离,那么平面内到定圆$C_1$的距离与定圆$C_2$的距离相等的点的轨迹不可能是(\qquad)\\
\onech{双曲线}{直线}{圆}{一条射线}
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C1,C2同心圆时(半径r1,r2不等),是半径为(r1+r2)/2的圆.
C1,C2为r1=r2的圆时,是两圆心的垂直平分线.
r1,r2不等,又不同心,是双曲线或椭圆.相离还2条双曲线
射线想不出,就它了?

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回复 2# realnumber

A选项得是双曲线的一支吧。

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设两定圆的圆心分别为 `A`, `B`,半径分别为 `R`, `r`,记 `d=AB`(可为零),不妨设 `R\geqslant r`,且 `d=0` 时 `R>r`。

依题意,`P` 到圆 `A` 的距离为 $\abs{PA-R}$,到圆 `B` 的距离为 $\abs{PB-r}$,所以 `P` 的轨迹方程就是 $\abs{PA-R}=\abs{PB-r}$,记 `\Gamma_1`: `\{P\mid PA-PB=R-r\}`, `\Gamma_2`: `\{P\mid PA+PB=R+r\}`,`P` 的轨迹就是这两者的并。

对于 `\Gamma_1`:
若 `d=0`,因 `R>r`,`\Gamma_1` 为空集;
若 `0<d<R-r`,`\Gamma_1` 也为空集;
若 `0<d=R-r`,`\Gamma_1` 为射线(就是 `AB` 的延长线);
若 `0<R-r<d`,`\Gamma_1` 为双曲线的一支;
若 `0=R-r<d`,`\Gamma_1` 为直线(就是 `AB` 的中垂线)。

对于 `\Gamma_2`:
若 `d=0`,`\Gamma_2` 为圆;
若 `0<d<R+r`,`\Gamma_2` 为椭圆;
若 `d=R+r`,`\Gamma_2` 为线段 `AB`;
若 `d>R+r`,`\Gamma_2` 为空集。

综上所述:
若 `d=0`,`P` 的轨迹为:圆;
若 `0<d<R-r`,`P` 的轨迹为:椭圆;
若 `0<d=R-r`,`P` 的轨迹为:射线 + 椭圆;
若 `0<R-r<d<R+r`,`P` 的轨迹为:双曲线的一支 + 椭圆;
若 `0=R-r<d<R+r`,`P` 的轨迹为:直线 + 椭圆;
若 `0<R-r<d=R+r`,`P` 的轨迹为:双曲线的一支 + 线段;
若 `0=R-r<d=R+r`,`P` 的轨迹为:直线 + 线段;
若 `0<R-r<R+r<d`,`P` 的轨迹为:双曲线的一支;
若 `0=R-r<R+r<d`,`P` 的轨迹为:直线。

所以选项 D 是不可能嘀,至于选项 A,勉强也算对吧,当然严格来说最好说明是一支。

值得一提的是,这道题与“动圆与两定圆相切(包括内切外切)求圆心轨迹”是有区别的。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 4# kuing

展示一下这 9 种情况,用 MMC(A):
  1. lst={{0,7,3},{3,7,3},{4,7,3},{8,7,3},{8,5,5},{10,7,3},{10,5,5},{12,7,3},{12,5,5}};
  2. Do[{{d,r1,r2}=lst[[n]];
  3. tu[n]=ContourPlot[{Abs[Sqrt[(x+d/2)^2+y^2]-r1]==Abs[Sqrt[(x-d/2)^2+y^2]-r2],
  4. (x+d/2)^2+y^2==r1^2,(x-d/2)^2+y^2==r2^2},{x,-10,10},{y,-10,10},
  5. PlotPoints->21]},{n,Length[lst]}]
  6. Table[tu[n],{n,Length[lst]}]
复制代码

2dy.png
2019-7-12 02:53
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 3# Tesla35


    en,想着想着就乱入了,同“与两圆同时相切”混淆了

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本帖最后由 青青子衿 于 2019-7-12 15:28 编辑

回复 1# Tesla35
引理:外切于两定圆的圆,其圆心轨迹为双曲线(的一部分)
这个引理2011年北约自主招生当大题考过,2015年洛阳模拟考过选择题,2017年吉林省吉林市毕业检测考过选择题

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回复 5# kuing

good

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