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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 导数恒成立，求参数范围

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发表于 2019-7-3 10:11 | 只看该作者

[函数] 导数恒成立，求参数范围

导数1.png

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2^#

发表于 2019-7-4 08:19 | 只看该作者

回复 1# guanmo1

分参老套路
\[\frac{e^x-1-x}{x\ln(x+1)}>a\]
变成找左边最小值
\[\frac{e^x-1-x}{x\ln(x+1)}\ge\frac{\frac{1}{2}x^2}{x\ln(x+1)}\ge\frac{\frac{1}{2}x^2}{x^2}=\frac{1}{2}\]
易证$x=0$时极限取等，因此$a\le\frac{1}{2}$

3^#

发表于 2019-7-4 09:00 | 只看该作者

本帖最后由 guanmo1 于 2019-7-4 09:28 编辑

回复 2# 战巡

赞，可是由于高中学生所学有限，有更初等的解法吗？

4^#

发表于 2019-7-4 09:39 | 只看该作者

回复 3# guanmo1

这还不初等？没用级数展开啊
$e^x-1-x\ge \frac{1}{2}x^2$，$\ln(x+1)\le x$这在高中应该算常识了吧，即便不知道的也很容易证明

5^#

发表于 2019-7-4 15:41 | 只看该作者

回复 4# 战巡

高中现在连极限都不讲。那个极限取等在高考中是要“扣分”的。

6^#

发表于 2019-7-4 16:11 | 只看该作者

回复 5# guanmo1

不取极限也不过是简单的从大于等于变成大于，我写极限取等不过是为了表述严谨，变通一下不就完了

7^#

发表于 2019-7-5 07:16 | 只看该作者

本帖最后由走走看看于 2019-7-5 07:28 编辑

回复 6# 战巡

$"e^x−1−x≥\frac{1}{2}x^2 ，"$确实想不到啊，因此在考试时只能仰望天花板了，祈求神仙帮忙。

这道题的1/2只能在x=0处取得，因此，不用洛必达法则好像不可求，涉嫌超纲了。

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