若$a_n=\sqrt{\dfrac{n-1}{n(n+1)}},n\inN^*$,证明:$a_1+a_2+\cdots +a_n<\dfrac{2^{n+1}}{2^n+1}\sqrt{n}<2\sqrt{n}$。
lemondian 发表于 2019-6-19 19:11 相当无聊的一题啊……首先 `a_1=0`,当 `n\geqslant2` 时显然有
\[a_n<\frac1{\sqrt n}<\frac2{\sqrt n+\sqrt{n-1}}=2\bigl(\sqrt n-\sqrt{n-1}\bigr),\]从而
\[a_1+a_2+\cdots+a_n<2\bigl(\sqrt n-1\bigr),\]故只需证
\[2\bigl(\sqrt n-1\bigr)<\frac{2^{n+1}}{2^n+1}\sqrt n,\]化简即 `2^n+1>\sqrt n`,显然成立。
你看,`a_n` 那复杂的表达式及后面那 `2^n` 啥的完全只是用来吓人,搞成很难的样子但实际上还弱于 `\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}<2(\sqrt n-1)` 这道简单的习题。
(除非是你抄错了题(所以我已经引用了起来))。 |