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[几何] 与抛物线重心有关的面积比的最小值

如图,已知点$F(1,0)$抛物线$y_2=2px(p>0)$的焦点,过点$F$的直线交抛物线于$A,B$两点,点$C$在抛物线上,使得$\triangle ABC$的重心$G$在$x$轴上,直线$AC$交$x$轴于点$Q$,且$Q$在点$F$右侧。记$\triangle AFG,\triangle CQG$的面积分别为$S_1,S_2$。
(1)求$p$的值及抛线线的方程;
(2)求$\dfrac{S_1}{S_2}$的最小值及此时点$G$的坐标。
61601.jpg
2019-6-16 21:16
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回复 1# lemondian
这题用几何性质还是好算点。有考场上象官方答案那样确实难算。一算一脸失望

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回复 2# 力工
平几性质吗?如何证明的呢?

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不妨设 `AB` 斜率为正,则 `-2<y_B<0`,易知 `y_Ay_B=-4`,由重心在 `x` 轴上知 `y_A+y_B+y_C=0`。

记 $\S{ABC}=3S$,则 $\S{GAB}=\S{GAC}=S$,故
\begin{align*}
S_1&=\frac{AF}{AB}S=\frac{y_A}{y_A-y_B}S=\frac4{4+y_B^2}S,\\
S_2&=\frac{CQ}{CA}S=\frac{-y_C}{y_A-y_C}S=\frac{y_A+y_B}{2y_A+y_B}S=\frac{4-y_B^2}{8-y_B^2}S,
\end{align*}令 `t=y_B^2<4`,则
\[\frac{S_1}{S_2}=\frac{4(8-t)}{(4+t)(4-t)}=\frac1{4-\left(\frac{8-t}{4}+\frac{12}{8-t}\right)}\geqslant\frac1{4-2\sqrt3}=1+\frac{\sqrt3}2,\]取等时 `G` 的坐标懒得算了,事关我画图发现取等时似乎 `CG\perp x` 轴,所以估计会有更简单的平几解法,或许能直接判断出何时最小,待研究……

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发现一个性质,不知对此题有没有用……

设抛物线 `\Gamma` 的顶点为 `O`,则 `\Gamma` 的内接 `\triangle ABC` 的重心在 `\Gamma` 的对称轴上当且仅当 `O`, `A`, `B`, `C` 四点共圆。

或者更一般点:抛物线的内接四边形的重心(不是物理的)在抛物线对称轴上当且仅当四个顶点共圆。

这结论用斜率互反易证,过程略。

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回复 6# isee

哦,标答发来瞧瞧?

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回复 7# kuing

没看头,很傻,抛物线参数方程+AB直线,韦达定理,硬算。
不发了。

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回复 7# kuing
61701.jpg
2019-6-17 15:04

61702.jpg
2019-6-17 15:04

61703.jpg
2019-6-17 15:04

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回复 5# kuing
话说这个如何证明呢?
还有4#的$CG$垂直于$x$轴,是否成立?

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回复 10# lemondian
对边斜率互为相反数。

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回复 4# kuing
@kuing:
好象此题的求面积比的最小值好象有一个更一般的结论呀。
就是不用什么抛物线这个东东,直接在三角形中就可以了,具体如下:
在$\triangle ABC$中,若$G$是$\triangle ABC$的重心,过点$G$作直线交$AB$于点$F$($F$与点$A,B$不重合),交$AC$于点$Q$($Q$与点$A,C$不重合),记$\triangle AFG,\triangle CQG$的面积分别为$S_1,S_2$。则的$\dfrac{S_1}{S_2}$最小值为$1+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$。

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回复 12# lemondian

唉,我通常说“有空待续……”“待研究……”之类,经常就是丢下不管了,而且机率在增长,感觉越来越懒了……

此结论的确成立,其证明也很简单,只需用到一个简单FAQ:
若令 $\vv{AF}=m\vv{AB}$, $\vv{AQ}=n\vv{AC}$,则有 `1/m+1/n=3`。(证明略(或参照撸题集题目 6.6.19))
当交点均在边的内部时,应有 `m`, `n\in(1/2,1)`。

然后同样地用 4# 的方法,记 $\S{ABC}=3S$,则 `S_1=mS`, `S_2=(1-n)S`,所以
\[\frac{S_1}{S_2}=\frac m{1-n}=\frac n{(1-n)(3n-1)}=\frac1{4-3n-\frac1n}\geqslant\frac1{4-2\sqrt3}=1+\frac{\sqrt3}2,\]当 `n=1/\sqrt3` 时取等。

PS、取等时并无垂直结论,原题有可能是巧合。

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噢,原来你昨天的这个帖 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=6264 就是为了这个 PS……

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回复 14# kuing

呵呵,给你看穿了

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回复 13# kuing
我也是这样证的。

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回复  lemondian

唉,我通常说“有空待续……”“待研究……”之类,经常就是丢下不管了,而且机率在增长 ...
kuing 发表于 2019-6-26 10:47

这么一来,此题的命题可能就是这么来的,只是命题者用解析几何。

那这个就成了一道非常经典的向量重心的应用了,啧啧啧,此角度来,这题可用到高一做压轴题了。

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