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[几何] 一类与圆锥面相切的直纹面

本帖最后由 青青子衿 于 2019-7-28 13:40 编辑

在空间直角坐标系中,求出与圆锥面\(\,x^2+y^2=2z^2\,\)相切
且切点位于抛物线\(\,\begin{cases}
x^2+y^2=2z^2\\
z=\dfrac{\,x}{\sqrt2\,}+1
\end{cases}\,\)上并与\(\,xOz\,\)平面平行的直线簇表达式;
并利用该表达式得到此直线簇的包络面(其为一张三次直纹曲面)。
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本帖最后由 青青子衿 于 2019-11-4 14:40 编辑

回复 1# 青青子衿
某三次直纹曲面的参数表达式:\(\begin{cases}
x=\dfrac{u^2-2}{2\sqrt2}+v\cdot\dfrac{u^2+2}{2\sqrt2}\\
y=\quad\,u\\
z=\dfrac{u^2+2}{4}+v\cdot\dfrac{u^2-2}{4}\\
\end{cases}\)

某三次直纹曲面的隐式表达式:\( \color{black}{2\big(x+\sqrt{2}\,z\big)=\Big(x-\sqrt{2}(z-2)\Big)y^2} \)
...
  1. ContourPlot3D[{x^2 + y^2 - 2 z^2 == 0,
  2.   2 (x + Sqrt[2] z) == (x - Sqrt[2] (z - 2)) y^2},
  3. {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}, PlotPoints -> 60]
复制代码
...
虽然它是直纹面,但是它曲面上绝大部分点都是双曲点,少部分是抛物点。
因此它不是可展曲面,可展曲面要求每一点都是抛物点。
.
  1. -Det[D[t*F[x, y, z], {{x, y, z, t}, 2}]] /. t -> 1
复制代码
.
微分几何术语:【椭圆点】【抛物点】【双曲点】【平点】
注:除去平点外,正则曲面可以根据曲面上点的邻近结构分为三类点,分别是“椭圆点”、“抛物点”和“双曲点”。

\begin{gather*}
r=\dfrac{\partial^2u}{\partial\,\!x^2}\qquad\,s=\dfrac{\partial^2u}{\partial\,\!x\partial\,\!y}\qquad\,t=\dfrac{\partial^2u}{\partial\,\!y^2}\\
\\
\lambda_1=\dfrac{-s+\sqrt{s^2-rt}}{t}\qquad\,\lambda_2=\dfrac{-s-\sqrt{s^2-rt}}{t}\\
\\
\Diamond\,\!u=\dfrac{\partial\,\!\lambda_1}{\partial\,\!x}+\lambda_1\dfrac{\partial\,\!\lambda_1}{\partial\,\!y}
\\\\
\bar\Diamond\,\!u=\dfrac{\partial\,\!\lambda_2}{\partial\,\!x}+\lambda_2\dfrac{\partial\,\!\lambda_2}{\partial\,\!y}
\end{gather*}
...

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