本帖最后由 青青子衿 于 2019-11-4 14:40 编辑
回复 1# 青青子衿
某三次直纹曲面的参数表达式:\(\begin{cases}
x=\dfrac{u^2-2}{2\sqrt2}+v\cdot\dfrac{u^2+2}{2\sqrt2}\\
y=\quad\,u\\
z=\dfrac{u^2+2}{4}+v\cdot\dfrac{u^2-2}{4}\\
\end{cases}\)
某三次直纹曲面的隐式表达式:\( \color{black}{2\big(x+\sqrt{2}\,z\big)=\Big(x-\sqrt{2}(z-2)\Big)y^2} \)
...- ContourPlot3D[{x^2 + y^2 - 2 z^2 == 0,
- 2 (x + Sqrt[2] z) == (x - Sqrt[2] (z - 2)) y^2},
- {x, -5, 5}, {y, -5, 5}, {z, -5, 5}, PlotPoints -> 60]
复制代码 ...
虽然它是直纹面,但是它曲面上绝大部分点都是双曲点,少部分是抛物点。
因此它不是可展曲面,可展曲面要求每一点都是抛物点。
.- -Det[D[t*F[x, y, z], {{x, y, z, t}, 2}]] /. t -> 1
复制代码 .
微分几何术语:【椭圆点】【抛物点】【双曲点】【平点】
注:除去平点外,正则曲面可以根据曲面上点的邻近结构分为三类点,分别是“椭圆点”、“抛物点”和“双曲点”。
\begin{gather*}
r=\dfrac{\partial^2u}{\partial\,\!x^2}\qquad\,s=\dfrac{\partial^2u}{\partial\,\!x\partial\,\!y}\qquad\,t=\dfrac{\partial^2u}{\partial\,\!y^2}\\
\\
\lambda_1=\dfrac{-s+\sqrt{s^2-rt}}{t}\qquad\,\lambda_2=\dfrac{-s-\sqrt{s^2-rt}}{t}\\
\\
\Diamond\,\!u=\dfrac{\partial\,\!\lambda_1}{\partial\,\!x}+\lambda_1\dfrac{\partial\,\!\lambda_1}{\partial\,\!y}
\\\\
\bar\Diamond\,\!u=\dfrac{\partial\,\!\lambda_2}{\partial\,\!x}+\lambda_2\dfrac{\partial\,\!\lambda_2}{\partial\,\!y}
\end{gather*}
... |