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[几何] 斜率乘积,斜率和,斜率比值是定值产生定点的背景?

本帖最后由 Tesla35 于 2019-6-12 16:00 编辑

斜率乘积是定值:
已知点$P$是圆$x^2+y^2=1$上任意一点,过点$P$作$y$轴的垂线,垂足为$Q$,点$R$满足$\vv{RQ}=\sqrt{3}\vv{PQ}$,记点$R$的轨迹为曲线$C$.
(1)求曲线$C$的方程;
(2)设$A(0,1)$,点$M,N$在曲线$C$上,且直线$AM$与直线$AN$的斜率之积为$\frac{2}{3}$.
(i)证明:直线$MN$过定点;
(ii)求$\triangle AMN$的面积的最大值.

斜率和是定值:
已知$F(1,0)$,$P$是平面上一动点,$P$到直线$l:x=-1$上的射影为点$N$,且满足$(\vv{PN}+\frac{1}{2}\vv{NF})\cdot\vv{NF}=0$.
(1)求点$P$的轨迹$C$的方程;
(2)过点$M(1,2)$作曲线$C$的两条弦$MA,MB$,设$MA,MB$所在直线的斜率分别为$k_1,k_2$,当$k_1,k_2$变化且满足$k_1+k_2=-1$时,证明直线$AB$恒过定点,并求出该定点坐标.

斜率比值是定值
如图,已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$.过点$P(2,0)$的直线交抛物线于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点,直线$AF,BF$分别与抛物线交于点$M,N$.\\
(1)求$y_1y_2$的值;\\
(2)记直线$MN$的斜率为$k_1$,直线$AB$的斜率为$k_2$.证明:$\frac{k_1}{k_2}$为定值.
抛物线.png
2019-6-12 16:00



这类题目是否有高等背景?
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怎么全是 \\ ……
话说,第一问答案给一下啊

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斜率之和为定值,一搜就有了:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5937

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咦?又多了个斜率之比?没问题,也有:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5384

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昨晚讨论组里的一题:
QQ图片20200307135001.png
2020-3-7 13:52

与楼主的第三题是一样的,也放这里好了。

事实上,可以更一般化一点:
QQ截图20200307140558.png
2020-3-7 14:17

如上图,圆锥曲线 `\Gamma` 的对称轴为 `x` 轴,`M`, `N` 是 `x` 轴上两定点,`\Gamma` 上的弦 `AB` 过 `M`,弦 `AC`, `BD` 过 `N`,则:
(1)直线 `CD` 与 `x` 轴的交点为定点;
(2)直线 `CD` 与 `AB` 的斜率之比为定值。

证明:把图形画成如下图那样。
QQ截图20200307141722.png
2020-3-7 14:17

则 `ST` 是 `N` 的极线,垂直于 `x` 轴,且 `M`, `N`, `P`, `Q` 调和,从而 `P` 是定点,以及 `k_{CD}:k_{AB}=(SQ/QP):(SQ/QM)=QM:QP=MN:NP` 为定值,QED。

回到昨晚讨论组里那题,即 `\Gamma`: `x^2/4+y^2/3=1`,`M` 为原点,`N` 为焦点 `(1,0)`,易知此时 `Q(4,0)` 且 `P(8/5,0)`,所以 `k_{CD}:k_{AB}=1:(8/5-1)=5/3`。

而回到楼主的第三题,即 `\Gamma`: `y^2=4x`, `M(2,0)`, `N(1,0)`,易知此时 `Q(-1,0)` 且 `P(0.5,0)`,所以 `k_{CD}:k_{AB}=1:0.5=2`。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复 6# kuing
@kunig:在第3个图中,过点N作直线垂直于x轴,交AB于点E,交CD于点F,则NE=NF,如果能证明这个结论。则可不要调和的知识了吧?
在ggb中,NE=NF是对的,但我不会证。是不是与蝴蝶定理有点关系?

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回复 7# lemondian

那本来就是蝴蝶定理……

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回复 8# kuing

交点E, F在曲线外,如何用蝴蝶定理?@kuing请写一下吧!

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回复 9# lemondian

蝴蝶定理分内外的吗?

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回复 9# lemondian

看这帖吧 http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=399 ,帖中 7# 的解析法你应该能看得懂,该证法清楚显示根本没什么内外之分。

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回复 11# kuing
看了一下,那边的方法应该看懂了!
但这边还是卡了,过不来。。。

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