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[几何] 斜率乘积,斜率和,斜率比值是定值产生定点的背景?

本帖最后由 Tesla35 于 2019-6-12 16:00 编辑

斜率乘积是定值:
已知点$P$是圆$x^2+y^2=1$上任意一点,过点$P$作$y$轴的垂线,垂足为$Q$,点$R$满足$\vv{RQ}=\sqrt{3}\vv{PQ}$,记点$R$的轨迹为曲线$C$.
(1)求曲线$C$的方程;
(2)设$A(0,1)$,点$M,N$在曲线$C$上,且直线$AM$与直线$AN$的斜率之积为$\frac{2}{3}$.
(i)证明:直线$MN$过定点;
(ii)求$\triangle AMN$的面积的最大值.

斜率和是定值:
已知$F(1,0)$,$P$是平面上一动点,$P$到直线$l:x=-1$上的射影为点$N$,且满足$(\vv{PN}+\frac{1}{2}\vv{NF})\cdot\vv{NF}=0$.
(1)求点$P$的轨迹$C$的方程;
(2)过点$M(1,2)$作曲线$C$的两条弦$MA,MB$,设$MA,MB$所在直线的斜率分别为$k_1,k_2$,当$k_1,k_2$变化且满足$k_1+k_2=-1$时,证明直线$AB$恒过定点,并求出该定点坐标.

斜率比值是定值
如图,已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$.过点$P(2,0)$的直线交抛物线于$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$两点,直线$AF,BF$分别与抛物线交于点$M,N$.\\
(1)求$y_1y_2$的值;\\
(2)记直线$MN$的斜率为$k_1$,直线$AB$的斜率为$k_2$.证明:$\frac{k_1}{k_2}$为定值.
抛物线.png
2019-6-12 16:00



这类题目是否有高等背景?
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怎么全是 \\ ……
话说,第一问答案给一下啊

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斜率之和为定值,一搜就有了:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5937

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咦?又多了个斜率之比?没问题,也有:http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5384

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