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[几何] 求椭球面平面截口曲线椭圆的相关量

本帖最后由 青青子衿 于 2019-5-30 14:43 编辑

已知椭球面\(\,\Sigma\colon\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\),平面\(\,\Pi\colon\,\dfrac{Ax+By+Cz}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=R\,\),求椭球面\(\,\Sigma\,\)与平面\(\,\Pi\,\)的截口曲线“直径”(主轴),即椭圆的长轴与短轴及其相关量。
若记\(\,\cos\alpha\,\)、\(\,\cos\beta\,\)、\(\,\cos\gamma\,\),则平面\(\,\Pi\,\)可以简化为\(\,\Pi\colon\,x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma=R\,\)
可以发现,有:\(\,\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\,\)
\begin{align*}
\left\{
\begin{split}
\cos\alpha=\dfrac{A}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
\cos\beta=\dfrac{B}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
\cos\gamma=\dfrac{C}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
\end{split}
\right.
\end{align*}
...
  1. AA = 1;
  2. BB = 1;
  3. CC = 3;
  4. R = 2;
  5. Show[ContourPlot3D[AA*x + BB*y + CC*z == R*Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2],
  6.   {x, -1/2, 3}, {y, -1/2, 3}, {z, -1/2, 3}, Mesh -> None],
  7. Graphics3D[{PointSize[Large],
  8.    Point[{
  9.      {AA*R/Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2],
  10.       BB*R/Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2],
  11.       CC*R/Sqrt[AA^2 + BB^2 + CC^2]},
  12.      {0, 0, 0}}]
  13.    }],
  14. ParametricPlot3D[{k, k, 3 k}, {k, -5, 5},
  15.   PlotStyle -> Directive[Blue, Thick]]]
复制代码
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本帖最后由 青青子衿 于 2019-7-5 19:47 编辑
已知椭球面\(\,\Sigma\colon\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\),平面\(\,\Pi\colon\,\dfrac{Ax+By+Cz}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=R\,\),求椭球面\(\,\Sigma\,\)与平面\(\,\Pi\,\)的截口曲线“直径”(主轴),即椭圆的长轴与短轴及其相关量。 ...
青青子衿 发表于 2019-5-29 20:39

当\(\,R={\color{red}0}\,\)时,有如下命题:
平面\(\,\Pi_{\overset{\,}0}\colon\,x\cos\alpha+y\cos\beta+z\cos\gamma={\color{red}0}\,\)(其中\(\,\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\,\))交椭球面\(\,\Sigma\colon\,\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1\,\)的截口曲线是主轴长为\(r_{\overset{\,}1}\)和\(r_{\overset{\,}2}\)的椭圆。
证明:\(r_{\overset{\,}1}\)与\(r_{\overset{\,}2}\)满足方程
\[ \dfrac{a^2\cos^2\alpha}{a^2-r^2}+\dfrac{b^2\cos^2\beta}{b^2-r^2}+\dfrac{c^2\cos^2\gamma}{c^2-r^2}=0 \]
参见:吉米多维奇 3705 ...

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本帖最后由 realnumber 于 2019-6-1 08:31 编辑

截口曲线方程(如果平面直角坐标系建在这个截面上)怎么得到啊?好象旋转就可以了,把截面转到与xoy平面平行
为什么凑巧也是椭圆?

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回复 3# realnumber

凑巧?消元后是二次,又不会无穷远,除了椭圆和圆还能是啥?

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回复 4# 爪机专用
o,

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已知截平面的方向向量的三个方向余弦角,可以将$z$轴转到该方向,形成新的坐标系$O-xyz$,于是椭球方程变为一般椭球面方程,而截平面方程变为$z=R$.
接下来就好办的,直接将$z=R$代入,直接得到一般的椭圆方程$f(x,y)=0$,剩下就是根据二次曲线的三个不变量来求主轴长度了。

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在下面的帖子中假设 $a$、$b$、$c$、$p$ 都是正数。有如下结论:
截面的法向量平行时,得到的截线是相似的,因此若截线非退化,离心率都相等。

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-9 10:00 编辑

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭球面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}=1$。当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2>D^2$ 时截线是椭圆或圆,设截线的长半轴长是 $\lambda_1$,短半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2+c^2\right)+B^2b^2\left(a^2+c^2\right)+C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}+a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2=D^2$ 时截线是一个点;当 $A^2a^2+B^2b^2+C^2c^2<D^2$ 时截线是虚椭圆。

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-9 10:31 编辑

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭单叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=1$。当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 时截线是椭圆或圆,设截线的长半轴长是 $\lambda_1$,短半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\neq D^2$ 时截线是双曲线,设截线的实半轴长是 $\lambda_1$,虚半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}-\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2-D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2=D^2$ 时截线是相交直线,两直线夹角的余弦值是
\[
\frac{\left|A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right|}{\sqrt{\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)^2+4a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)}};
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是抛物线,此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4\right)^3}}|D|;
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是平行线,两直线的距离是
\[
2\sqrt{\frac{A^2+B^2+C^2}{A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4}}abc。
\]

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-9 10:31 编辑

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭双叶双曲面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=-1$。当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2>-D^2$ 时截线是椭圆或圆,设截线的长半轴长是 $\lambda_1$,短半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2=-D^2$ 时截线是一个点;当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2<-D^2$ 时截线是一个虚椭圆;当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 时截线是双曲线,设截线的实半轴长是 $\lambda_1$,虚半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2+D^2\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是抛物线,此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4\right)^3}}|D|;
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是平行虚直线。

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-9 10:32 编辑

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截二次锥面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}-\dfrac{z^2}{c^2}=0$。当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是椭圆或圆,设截线的长半轴长是 $\lambda_1$,短半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+D^2\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2D^4\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2<C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是原点;当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是双曲线,设截线的实半轴长是 $\lambda_1$,虚半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)^3t^2\\
&{}+D^2\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)t\\
&{}-a^2b^2c^2D^4\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\end{align*}
的两根;当 $A^2a^2+B^2b^2>C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是相交直线,两直线夹角的余弦值是
\[
\frac{\left|A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right|}{\sqrt{\left(A^2a^2\left(b^2-c^2\right)+B^2b^2\left(a^2-c^2\right)-C^2c^2\left(a^2+b^2\right)\right)^2+4a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-C^2c^2\right)}};
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是抛物线,此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2c^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(A^2a^4+B^2b^4+C^2c^4\right)^3}}|D|;
\]
当 $A^2a^2+B^2b^2=C^2c^2$ 且 $D=0$ 时截线是两重合直线。

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截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭圆抛物面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=2z$。当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2>2CD$ 时截线是椭圆或圆,设截线的长半轴长是 $\lambda_1$,短半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&C^6t^2-C^2\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2\left(a^2+b^2\right)\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-2CD\right)t\\
&{}+a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-2CD\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2=2CD$ 时截线是一点;当 $C\neq 0$且$A^2a^2+B^2b^2<2CD$ 时截线是一个虚椭圆;当 $C=0$ 时截线是抛物线,此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2\left(A^2+B^2\right)}{A^2a^2+B^2b^2}。
\]

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-9 14:29 编辑

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截双曲抛物面 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=2z$。当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2-B^2b^2\neq 2CD$ 时截线是双曲线,设截线的实半轴长是 $\lambda_1$,虚半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\begin{align*}
&C^6t^2-C^2\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2\left(a^2+b^2\right)\right)\left(A^2a^2-B^2b^2-2CD\right)t\\
&{}-a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(A^2a^2-B^2b^2-2CD\right)^2=0
\end{align*}
的两根;当 $C\neq 0$ 且 $A^2a^2-B^2b^2=2CD$ 时截线是两条相交直线,两直线夹角的余弦值是
\[
\frac{\left|C\left(a^2-b^2\right)+2D\right|}{\sqrt{\left(C\left(a^2-b^2\right)+2D\right)^2+4a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)}};
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 时截线是抛物线,此截线的焦点到准线的距离是
\[
\frac{a^2b^2\left(A^2+B^2\right)}{\left|A^2a^2-B^2b^2\right|};
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2=B^2b^2$ 时截线是一条直线。

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截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截椭圆柱面 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$。当 $C\neq 0$ 截线是椭圆或圆,设截线的长半轴长是 $\lambda_1$,短半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\[
C^2t^2-\left(A^2a^2+B^2b^2+C^2\left(a^2+b^2\right)\right)t+a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\]
的两根;当 $C=0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2>D^2$ 时截线是两平行直线,两直线的距离是
\[
\frac{2ab}{A^2a^2+B^2b^2}\sqrt{\left(A^2+B^2\right)\left(A^2a^2+B^2b^2-D^2\right)};
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2=D^2$ 时截线是两重合直线;当 $C=0$ 且 $A^2a^2+B^2b^2<D^2$ 时截线是平行虚直线。

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本帖最后由 hejoseph 于 2019-6-9 14:47 编辑

截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截双曲柱面 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$。当 $C\neq 0$ 截线是双曲线,设截线的实半轴长是 $\lambda_1$,虚半轴长是 $\lambda_2$,则 $\lambda_1^2$、$-\lambda_2^2$ 是关于 $t$ 的方程
\[
C^2t^2-\left(A^2a^2-B^2b^2+C^2\left(a^2-b^2\right)\right)t-a^2b^2\left(A^2+B^2+C^2\right)=0
\]
的两根;当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 且 $A^2a^2-B^2b^2<D^2$ 时截线是两平行直线,两直线的距离是
\[
\frac{2ab}{\left|A^2a^2-B^2b^2\right|}\sqrt{-\left(A^2+B^2\right)\left(A^2a^2-B^2b^2-D^2\right)};
\]
当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 且 $A^2a^2-B^2b^2=D^2$ 时截线是两条重合直线;当 $C=0$ 且 $A^2a^2\neq B^2b^2$ 且 $A^2a^2-B^2b^2>D^2$ 时截线是两条平行虚直线;当 $C=0$ 且 $A^2a^2=B^2b^2$ 且 $D\neq 0$ 时截线是一条直线;当 $C=0$ 且 $A^2a^2=B^2b^2$ 且 $D=0$ 时截线不存在。

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截面 $Ax+By+Cz+D=0$ 截抛物柱面 $x^2=2py$。当 $C\neq 0$ 截线抛物线,截线焦点到准线的距离是
\[
\frac{|C|\left(A^2+B^2+C^2\right)}{\sqrt{\left(B^2+C^2\right)^3}}p;
\]
的两根;当 $C=0$ 且 $B\neq 0$ 且 $A^2p>2BD$ 时截线是两平行直线,两直线的距离是
\[
\frac{2\sqrt{p\left(A^2+B^2\right)\left(A^2p-2BD\right)}}{B^2};
\]
当 $C=0$ 且 $B\neq 0$ 且 $A^2p=2BD$ 时截线是两重合直线;当 $C=0$ 且 $B\neq 0$ 且 $A^2p<2BD$ 时截线是两平行虚直线;当 $C=0$ 且 $B=0$ 时截线是一条直线。
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    • isee: 大手笔威望 + 1

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