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一类元素中带绝对值的行列式

本帖最后由 青青子衿 于 2019-5-29 12:35 编辑
  1. NN = 6
  2. Array[a^Abs[#1 - #2] &, {NN, NN}] // MatrixForm
  3. a^Abs@Array[Subtract, {NN, NN}] // MatrixForm
  4. SparseArray[Flatten[{Band[{1, 1}] -> 1,
  5.     Table[
  6.      {Band[{1, #}] -> a^(# - 1) &[k],
  7.       Band[{#, 1}] -> a^(# - 1) &[k]},
  8.      {k, 2, NN}]}], {NN, NN}] // MatrixForm
复制代码
...

\begin{align*}
\bigg|\,\boldsymbol{A}\left\{\#\right\}\,\bigg|&=\bigg|\{\,|i-j|\,\}\bigg|\\
\\
&=
\begin{vmatrix}
0&1&2&\cdots&n-1\\
1&0&1&\cdots&n-2\\
2&1&0&\cdots&n-3\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
n-1&n-2&n-3&\cdots&0\\
\end{vmatrix}=(-1)^{n-1}(n-1)2^{n-2} \\
\\
\bigg|\,\boldsymbol{A}\left\{a^\#\right\}\,\bigg|&=\bigg|\{a^{|i-j|}\}\bigg|\\
\\
&=
\begin{vmatrix}
1&a&a^2&\cdots&a^{n-1}\\
a&1&a&\cdots&a^{n-2}\\
a^2&a&1&\cdots&a^{n-3}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^{n-1}&a^{n-2}&a^{n-3}&\cdots&1\\
\end{vmatrix}=(1-a^2)^{n-1} \\
\\
\bigg|\,\boldsymbol{A}\left\{\#a^\#\right\}\,\bigg|&=\bigg|\{\,|i-j|a^{|i-j|}\,\}\bigg|\\  
\\  
&=  
\begin{vmatrix}  
0&a&2a^2&\cdots&(n-1)a^{n-1}\\  
a&0&a&\cdots&(n-2)a^{n-2}\\  
2a^2&a&0&\cdots&(n-3)a^{n-3}\\  
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\  
(n-1)a^{n-1}&(n-2)a^{n-2}&(n-3)a^{n-3}&\cdots&0\\  
\end{vmatrix}=\,???  \\
\\
\bigg|\,\boldsymbol{A}\left\{a^\#\cos(\#\,b)\right\}\,\bigg|&=\bigg|\{a^{|i-j|}\cos\left(|i-j|b\right)\}\bigg|\\
\\
&=
\begin{vmatrix}
1&a\cos(b)&a^2\cos(2b)&\cdots&a^{n-1}\cos(nb-b)\\
a\cos(b)&1&a\cos(b)&\cdots&a^{n-2}\cos(\cdots)\\
a^2\cos(2b)&a\cos(b)&1&\cdots&a^{n-3}\cos(\cdots)\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
a^{n-1}\cos(nb-b)&a^{n-2}\cos(\cdots)&a^{n-3}\cos(\cdots)&\cdots&1\\
\end{vmatrix}=\,???
\end{align*}
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