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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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初等数学讨论
» 椭圆相关的四点共圆
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lemondian
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发表于 2019-5-28 15:48
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[几何]
椭圆相关的四点共圆
求教大家:
设椭圆$C$的两焦点为$F_1,F_2$,两准线为$l_1,l_2$,过椭圆上的一点$P$,作平行于$F_1F_2$的直线,分别交$l_1,l_2$于$M_1,M_2$,直线$M_1F_1$与$M_2F_2$交于点$Q$。证明:$P,F_1,Q,F_2$四点共圆。
图如下。
2019-5-28 15:48
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kuing
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发表于 2019-5-28 16:05
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很简单啊……
当 `P` 不在 `y` 轴上时,由正弦定理有
\[\frac{\sin\angle PF_1Q}{\sin\angle PM_1F_1}=\frac{PM_1}{PF_1}=\frac1e=\frac{PM_2}{PF_2}=\frac{\sin\angle PF_2Q}{\sin\angle PM_2F_2},\]显然 `\angle PM_1F_1=\angle PM_2F_2`,所以
\[\sin\angle PF_1Q=\sin\angle PF_2Q,\]而 `P` 不在 `y` 轴上时 `\angle PF_1Q\ne\angle PF_2Q`,只能是 `\angle PF_1Q+\angle PF_2Q=\pi`,从而四点共圆。
最后再另外验证一下 `P` 在 `y` 轴上的情形即可,易证此时垂直,过程略。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
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其妙
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发表于 2019-5-28 23:47
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kuing
这个定义用的妙!不过想想也只有这样用定义才自然(不是老是向学生强调圆锥曲线定义的基础性和重要性么)!
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isee
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发表于 2019-5-28 23:59
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其妙
第二定义早没“市场”了,不过,的确是用定义的好范例
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lemondian
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发表于 2019-5-29 09:25
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kuing
此题,我开始是用解析法,通过坐标来证的,思路不难,只是运算量较大。
例如:(1)先求得$\triangle F_1QF_2$的外接圆方程,再将点$P$代入验证;
(2)设$PQ$交$x$轴于点$T$,证;$F_1T\cdot F_2T=PT\cdot QT $;
等等
比不上kuing的方法简便!
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