函数 $f(x)=x^3-|ax^2+b|-1$在区间$(0,2)$上有2个零点,则$\dfrac{b}{a}$的取值范围 ...
力工 发表于 2019-6-4 17:10 这种题真是好无趣呀……
首先在 `(0,1)` 内显然无零点,因此区间可以缩小为 `[1,2)`。
不妨设 `a>0`,记 `g(x)=x^3-1`, `h(x)=ax^2+b`。
(1)若 `h(1)>0`,绝对值可忽略,即 `g(x)-h(x)=0` 在 `(1,2)` 内有两根,此时必有 `h(2)>g(2)`,但 `g(x)` 更高次,在更远处必还会有一个大根,这表明 `g(x)-h(x)=0` 有三个正根,但 `g(x)-h(x)` 没有一次项,由韦达定理知三根的两两之积之和为 `0`,矛盾!从而这种情况不存在;
(2)若 `h(1)=0`,即已经有一个零点是 `x=1`,此时应满足 `h'(1)>g'(1)` 且 `h(2)<g(2)`(否则又会像上面那样推出矛盾),即 `a+b=0`, `2a>3`, `4a+b<7`,也即 `a+b=0`, `a\in(3/2,7/3)`,此时 `b/a=-1`;
(3)若 `h(1)<0`,则有三种情况满足条件:
(3-1)`h(x)` 与 `g(x)` 相切,且切点的横坐标在 `(1,2)` 内,结果见楼下;
(3-2)`h(2)>g(2)`,即 `a+b<0\land 4a+b>7`,得 `b/a\in(-4,-1)`;
(3-3)`h(2)=g(2)` 且 `h'(2)<g'(2)`,即 `a+b<0\land 4a+b=7\land a<3`,得 `b/a\in(-5/3,-1)`。 |