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[几何] 三棱锥体积最小值

矩形ABCD,$AB=\sqrt{3},AD=1$,$ AF\perp  $平面ABC,AF=3,E为线段DC上一点,沿直线AE将△DAE翻折成$ \triangle GAE $,M为BG中点,则三棱锥$ M-BCF $体积的最小值_____。
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回复 1# 敬畏
211.png
2019-5-22 10:50

由题意知$ G $点在以$ A $为球心,半径为1的球面上,在平面$ ABF $上作$ AQ\perp BF $,垂足为$ Q $,$ N $为$ AQ $与球面交点,作$ NP\perp AB $于$ P $,过$ P $作$ PH\px AD $交$ CD $于$ H $,则球面上点到平面$FBC$的最小距离为$NQ$。有\[ V_{M-FBC}=\dfrac{1}{2}V_{G-FBC}\geqslant \dfrac{1}{2}V_{N-FBC}=\dfrac{1}{12}NQ\cdot FB\cdot BC=\dfrac{1}{12}\times \dfrac{1}{2} \times \sqrt{12}\times 1=\dfrac{\sqrt{3}}{12} \]
取等条件$ DE=DH=\dfrac{\sqrt{3}}{6} $

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回复 2# 乌贼
大手笔!大拿!这么简单。perfect!Thanks a lot!回头好好学习。。。。。

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此题用函数法,简直是,计算量巨大无比,至少30分钟!

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