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悠闲数学娱乐论坛(第2版)
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发表于 2019-5-16 03:42
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[几何]
几何最值问题
已知:$x^2+y^2=4$,求$3\sqrt{5-2x}+\sqrt{13-6y}$的最小值
是不是阿氏圆啊?咋做呢?
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发表于 2019-5-16 03:45
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只看该作者
嗯,配个方,很明显,原式 `=3\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}`。
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敬畏数学
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发表于 2019-5-16 09:25
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http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=5129
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发表于 2019-5-16 14:21
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3#
敬畏数学
是的,同样的题,反正就是配方+阿氏,就数据上来说,目测 1# 的还简单一些。
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发表于 2019-5-16 14:52
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只看该作者
大佬 没学过阿氏圆啊 给个过程吧 谢谢
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发表于 2019-5-16 15:48
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设 `P(x,y)` 在圆 `x^2+y^2=4` 上,记 `A(1,0)`, `B(0,3)`,据 2# 的配方式可知问题即是求 `3PA+PB` 的最小值。
设 `C(4,0)`, `D(0,4/3)`,则不难证明
\[PA=\frac12PC,PB=\frac32PD,\]从而
\[3PA+PB=\frac32(PC+PD)\geqslant\frac32CD=\frac32\sqrt{4^2+\frac{4^2}{3^2}}=2\sqrt{10},\]取等为线段 `CD` 与圆的交点,显然存在,不必具体写出。
2019-5-16 15:48
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