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[函数] 请教 平口单峰函数的 原理性证明

本帖最后由 走走看看 于 2019-5-9 17:28 编辑

从网上看到单峰函数的一个原理性证明,没有看懂,抄录如下。

若f(x)为[m,n]上的连续单峰函数,且f(m)=f(n),x0位极值点,则k、b变化时,g(x)=|f(x)-kx-b|的

最大值的最小值为$$\frac{|f(n)-f(x0)|}{2},$$当且仅当k=0,b=$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$时取得。

不妨以(m,x0)↓,(x0,n↑)为例,如图所示。
平口单峰函数.gif
2019-5-9 17:28


下用反证法证明km+b,kn+b均等于$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$

(1)若两者其一小于$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,不妨设$kn+b<\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,

此时,$$f(n)-(kn+b)>\frac{f(n)-f(x0)}{2},$$矛盾。

(2)若km+b≥$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,kn+b>$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,或km+b>$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,kn+b≥$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,

则有kx0+b>$\frac{f(n)+f(x0)}{2}$,此时,$$kx0-f(x0)>\frac{f(n)-f(x0)}{2},$$矛盾。

所以km+b=kn+b=$\frac{f(n)+f(x0)}{2}。$


这里多次提到矛盾,我横看竖看,就是没有看出矛盾在哪里。
命题中含有绝对值,证明中却没有看到绝对值的影子。
请专家们指教。

证明还可参见如下如下网址:
https://wenku.baidu.com/view/7b3 ... ef5ef7ba0d12ae.html  第二页
http://www.360doc.com/content/19/0316/00/54451547_821799278.shtml  第一页
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回复 2# isee

谢谢!我看看。

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