繁體
|
簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
(檢舉)
分享
新浪微博
QQ空间
人人网
腾讯微博
Facebook
Google+
Plurk
Twitter
Line
快速注册
登录
论坛
搜索
帮助
原始风格
brown
purple
green
red
orange
gray
pink
violet
blue
greyish-green
jeans
greenwall
私人消息 (0)
公共消息 (0)
系统消息 (0)
好友消息 (0)
帖子消息 (0)
应用通知 (0)
应用邀请 (0)
悠闲数学娱乐论坛(第2版)
»
初等数学讨论
» 两点一线求四边形周长的极值
返回列表
发帖
hbghlyj
发短消息
加为好友
hbghlyj
当前离线
UID
2861
帖子
2697
主题
957
精华
0
积分
17872
威望
31
阅读权限
90
在线时间
2574 小时
注册时间
2018-10-13
最后登录
2023-9-28
1
#
跳转到
»
倒序看帖
打印
字体大小:
t
T
发表于 2019-5-9 02:22
|
只看该作者
[几何]
两点一线求四边形周长的极值
本帖最后由 hbghlyj 于 2019-5-9 02:50 编辑
//大家都在讨论几何极值,小初中生也来凑个热闹
定点A,B在直线a两侧,在a上求点M,N,使得MN有给定的长,且四边形ANMB的周长最小
即AN+BM达到最小值,将BM平移到B'N,N就是B'A与a的交点
如果题目改为下面,请教作法?
(1)定点A,B在直线a两侧,在a上求点M,N,使得MN有给定的长,且四边形ANMB的面积最小(当线段MN与AB相交时时折四边形,如果考虑有向面积显然是MN中点在AB上最小,此时有向面积为零,还得考虑四边形区域的面积何时最小,指的是两个小三角形的面积之和)
(2)定点A,B在直线a两侧,在a上求点M,N,使得MN有给定的长,且四边形AMBN的周长最小
(这样四条边都是变量,但是四边形的面积为定值)
收藏
分享
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
2
#
发表于 2019-5-9 02:50
|
只看该作者
小初中生就少熬点夜吧
面积比较简单就不讲了。
周长的话,改后的,一般情况是尺规不可作的,精确解也是解不出的,比如 A(1,1), B(-2,-2), M(x,0), N(x+1,0),我扔给软件算,结果是取最小值的 x 是一个 24 次方程的根。
大概只有一些特殊情形可以作,比如 A, B 到直线的距离相等,则当四边形为平行四边形时周长最小。
TOP
hbghlyj
发短消息
加为好友
hbghlyj
当前离线
UID
2861
帖子
2697
主题
957
精华
0
积分
17872
威望
31
阅读权限
90
在线时间
2574 小时
注册时间
2018-10-13
最后登录
2023-9-28
3
#
发表于 2019-5-9 12:37
|
只看该作者
尴尬。我去年的笔记字太乱了。我把两道题当成一道了。不是显然。题目已经改了。
TOP
爪机专用
发短消息
加为好友
爪机专用
当前离线
UID
110
帖子
341
主题
3
精华
0
积分
3523
威望
2
阅读权限
90
在线时间
3236 小时
注册时间
2013-8-14
最后登录
2022-3-22
4
#
发表于 2019-5-9 14:56
|
只看该作者
(1)当 AB 与 MN 相交于 O 时,设 `MN=l`,A、B 到直线距离为 `h_1`、`h_2`,`OM=x`,
则两个小三角形面积之和为 `h_1x+h_2(l-x)=h_2l+(h_1-h_2)x`,所以:
若 `h_1<h_2`,则 M 在 AB 上时最小;
若 `h_1>h_2`,则 N 在 AB 上时最小。
TOP
hbghlyj
发短消息
加为好友
hbghlyj
当前离线
UID
2861
帖子
2697
主题
957
精华
0
积分
17872
威望
31
阅读权限
90
在线时间
2574 小时
注册时间
2018-10-13
最后登录
2023-9-28
5
#
发表于 2019-5-10 00:25
|
只看该作者
(2)特殊情况的详细证明:
四边形AMBN的四边平方和等于对角线的平方和与对角线中点距离平方的四倍的差,所以四边平方和当AB中点与MN中点连线垂直于时最小,再使用均值不等式得到如下结果:
若AB⊥a则AM=AN,BM=BN可同时取等,即筝形时周长最小
若AB到a等远则AM=BN,AN=BM可同时取等,即平行四边形时最小
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
6
#
发表于 2019-5-10 00:42
|
只看该作者
回复
5#
hbghlyj
“AB到a等远”的特殊情况用纯几何也可以证:
下载
(9.46 KB)
2019-5-10 00:42
如图,平移 `ANB` 至 `A'MB'`,则 `AMBN` 的周长 `=MA+MB+MA'+MB'\geqslant AB'+A'B`,由于等远,`AB'` 与 `A'B` 的交点 `P` 必在 `a` 上,所以当 `M` 在 `P` 处时取等,此时就是平行四边形。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
kuing
发短消息
加为好友
kuing
当前离线
UID
1
帖子
8832
主题
619
精华
0
积分
66354
威望
113
阅读权限
200
性别
男
来自
广东广州
在线时间
21788 小时
注册时间
2013-6-13
最后登录
2024-3-9
7
#
发表于 2019-5-10 01:15
|
只看该作者
AB⊥a的情况也类似:
下载
(11.67 KB)
2019-5-10 01:15
将 `A`, `B` 沿 $\vv{NM}$ 平移后再作关于 `a` 的对称,得 `A''`, `B''`,由垂直得 `AA''` 与 `BB''` 交点 `P` 在 `a` 上,从而 `AMBN` 的周长 `=MA+MB+MA''+MB''\geqslant AA''+BB''`,当 `M` 在 `P` 处时取等,此时就是筝形。
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$
TOP
返回列表
回复
发帖
[收藏此主题]
[关注此主题的新回复]
[通过 QQ、MSN 分享给朋友]