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发表于 2019-5-4 22:38 | 只看该作者

二元等幂和的代数相关（一种非线性相关）

本帖最后由青青子衿于 2019-11-5 13:17 编辑

\begin{align*}
\begin{split}
1\,2\,3
\end{split}&&
\begin{split}
1\,2\,4\\
1\,3\,4\\
2\,3\,4\\
\end{split}&&
\begin{split}
1\,2\,5\\
1\,3\,5\\
1\,4\,5\\
2\,3\,5\\
2\,4\,5\\
3\,4\,5\\
\end{split}
\end{align*}
\begin{align*}
p_{\overset{\,}{k}}\,\colon=
\begin{cases}
p_{\overset{\,}{k}}(x,y)\triangleq\,x^k+y^k\\
\,\\
p_{\overset{\,}{k}}(u,v)\triangleq\,u^k+v^k\\
\end{cases}
\end{align*}
\begin{split}
&\small(x^2+y^2)^6&\small-4(x^2+y^2)^3(x^3+y^3)^2&\small-4(x^3+y^3)^4&\small+12 (x^2+y^2)(x^3+y^3)^2(x^4+y^4)&\small-3(x^2+y^2)^2(x^4+y^4)^2&\small-2(x^4+y^4)^3&\equiv0\\
&\small(u^2+v^2)^6&\small-4(u^2+v^2)^3(u^3+v^3)^2&\small-4(u^3+v^3)^4&\small+12 (u^2+v^2)(u^3+v^3)^2(u^4+v^4)&\small-3(u^2+v^2)^2(u^4+v^4)^2&\small-2(u^4+v^4)^3&\equiv0\\
&{p_{\overset{\,}{2}}}\!^6&-4{p_{\overset{\,}{2}}}\!^3{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2&-4{p_{\overset{\,}{3}}}\!^4&+12 {p_{\overset{\,}{2}}}{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2{p_{\overset{\,}{4}}}&-3{p_{\overset{\,}{2}}}\!^2{p_{\overset{\,}{4}}}\!^2&\small-2{p_{\overset{\,}{4}}}\!^3&\equiv0
\end{split}
\[ 2\left({p_{\overset{\,}{2}}}\!^2-{p_{\overset{\,}{4}}}\right)^3=\left({p_{\overset{\,}{2}}}\!^3-3{p_{\overset{\,}{2}}}{p_{\overset{\,}{4}}}+2{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2\right)^2 \]
...

[1,2,3]
(x + y)^3 - 3 (x + y)*(x^2 + y^2) + 2 (x^3 + y^3) // Expand
[1,2,4]
(x + y)^4 - 2 (x + y)^2*(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)^2 + 2 (x^4 + y^4) // Expand
[1,3,4]
(x + y)^6 - 8 (x + y)^3*(x^3 + y^3) - 2 (x^3 + y^3)^2 + 9 (x + y)^2* (x^4 + y^4) // Expand
[2,3,4]
(x^2 + y^2)^6 - 4 (x^2 + y^2)^3*(x^3 + y^3)^2 - 4 (x^3 + y^3)^4
+ 12 (x^2 + y^2)*(x^3 + y^3)^2*(x^4 + y^4)
- 3 (x^2 + y^2)^2*(x^4 + y^4)^2 - 2 (x^4 + y^4)^3 // Expand

复制代码

...

Resultant[x^3 + x - p, x^2 + x - q, x] // Factor

复制代码

...
\begin{align*}
P(\,p_{\overset{\,}{1}}\,,\,p_{\overset{\,}{2}}\,,\,p_{\overset{\,}{3}})&={p_{\overset{\,}{1}}}\!^3-3p_{\overset{\,}{1}}p_{\overset{\,}{2}}+2p_{\overset{\,}{3}}\\
\,\\
P(\,p_{\overset{\,}{1}}\,,\,p_{\overset{\,}{2}}\,,\,p_{\overset{\,}{4}})&={p_{\overset{\,}{1}}}\!^4-2{p_{\overset{\,}{1}}}\!^2p_{\overset{\,}{2}}-{p_{\overset{\,}{2}}}\!^2+2p_{\overset{\,}{4}}\\
\,\\
P(\,p_{\overset{\,}{1}}\,,\,p_{\overset{\,}{3}}\,,\,p_{\overset{\,}{4}})&={p_{\overset{\,}{1}}}\!^6-8{p_{\overset{\,}{1}}}\!^3p_{\overset{\,}{3}}-2{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2+9{p_{\overset{\,}{1}}}\!^2p_{\overset{\,}{4}}\\
\end{align*}
另外，如何求出$\,\left\{u^3+v^3,u^4+v^4,u^5+v^5\right\}\,$（实际上几何背景也由此可知，即化参数曲面为隐式曲面）
（好像可以借助Dixon结式）
https://pdfs.semanticscholar.org ... f448a6d98d3ab3b.pdf

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青青子衿

2^#

发表于 2019-5-5 14:59 | 只看该作者

本帖最后由青青子衿于 2019-5-5 23:04 编辑

回复 1# 青青子衿
找到解决方法了！

（即求出“多项式理想”）

eq1 = u^3 + v^3 - a;
eq2 = u^4 + v^4 - b;
eq3 = u^5 + v^5 - c;
GroebnerBasis[{eq1, eq2, eq3}, {a, b, c}, {u, v}]

复制代码

...
...

Eliminate[{x == u^2 + v^2, y == u^3 + v^3, z == u^4 + v^4},
{u, v}] /. {x :> u^2 + v^2, y :> u^3 + v^3, z :> u^4 + v^4}

复制代码

...
...

{a^10 - 5 a^6 b^3 - 25 a^2 b^6 + 60 a^3 b^4 c
- 30 a^4 b^2 c^2 +18 b^5 c^2 + 4 a^5 c^3
- 40 a b^3 c^3 + 15 a^2 b c^4 + 2 c^6}

复制代码

...
\begin{gather*}
\color{black}{
\begin{cases}
\begin{split}
x&=&\,&\color{blue}{u^3+v^3}\\
y&=&\,&\color{gold}{u^4+v^4}\\
z&=&\,&\color{silver}{u^5+v^5}
\end{split}
\end{cases}}\\
\,\\
\Downarrow\\
\,\\
\color{red}{x^{10}-5x^6y^3-25x^2y^6+60x^3y^4z
-30x^4y^2z^2+18y^5z^2+4x^5z^3
-40xy^3z^3 + 15x^2yz^4+2z^6=0}\,
\end{gather*}
更多元的情形：
\begin{align*}
6\left(u^{\color{red}5}+v^{\color{red}5}+w^{\color{red}5}\right)=&\phantom{+1}\left(u+v+w\right)^{\color{red}5}\\
&-{\color{red}5}\left(u+v+w\right)^3\left(u^2+v^2+w^2\right)\\
&+{\color{red}5}\left(u+v+w\right)^2\left(u^3+v^3+w^3\right)\\
&+ {\color{red}5}\left(u^2+v^2+w^2\right)\left(u^3+v^3+w^3\right)
\end{align*}
eq1 = u^1 + v^1 + w^1 - a;
eq2 = u^2 + v^2 + w^2 - b;
eq3 = u^3 + v^3 + w^3 - c;
eq4 = u^5 + v^5 + w^5 - d;
GroebnerBasis[{eq1, eq2, eq3, eq4}, {a, b, c, d}, {u, v, w}]
{a^5 - 5 a^3 b + 5 a^2 c + 5 b c - 6 d}

eq1 = p^1 + q^1 + u^1 + v^1 - a;
eq2 = p^2 + q^2 + u^2 + v^2 - b;
eq3 = p^3 + q^3 + u^3 + v^3 - c;
eq4 = p^4 + q^4 + u^4 + v^4 - d;
eq5 = p q u v - e;
GroebnerBasis[{eq1, eq2, eq3, eq4, eq5}, {a, b, c, d, e}, {p, q, u, v}]
{a^4 - 6 a^2 b + 3 b^2 + 8 a c - 6 d - 24 e}

http://blog.sina.com.cn/s/blog_7ac9421701017iua.html

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青青子衿

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发表于 2019-5-6 11:21 | 只看该作者

本帖最后由青青子衿于 2019-11-5 13:19 编辑

回复 2# 青青子衿
((u + v)^3 - 4 (u^3 + v^3)) -
3 (u + v) ((u + v)^2 - 2 (u^2 + v^2)) // Expand
幂简洁形式：
\begin{align*}
{p_{\overset{\,}{1}}}\!^3-3p_{\overset{\,}{1}}p_{\overset{\,}{2}}+2p_{\overset{\,}{3}}=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
3p_{\overset{\,}{1}}({p_{\overset{\,}{1}}}^2-2p_{\overset{\,}{2}})&=({p_{\overset{\,}{1}}}\!^3-4p_{\overset{\,}{3}})\\
{p_{\overset{\,}{1}}}\!^4-2{p_{\overset{\,}{1}}}\!^2p_{\overset{\,}{2}}-{p_{\overset{\,}{2}}}\!^2+2p_{\overset{\,}{4}}=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
2({p_{\overset{\,}{1}}}\!^4+p_{\overset{\,}{4}})&=({p_{\overset{\,}{1}}}\!^2+p_{\overset{\,}{2}})^2\\
{p_{\overset{\,}{1}}}\!^6-8{p_{\overset{\,}{1}}}\!^3p_{\overset{\,}{3}}-2{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2+9{p_{\overset{\,}{1}}}\!^2p_{\overset{\,}{4}}=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
9{p_{\overset{\,}{1}}}^2({p_{\overset{\,}{1}}}\!^4+p_{\overset{\,}{4}})&=2(2{p_{\overset{\,}{1}}}\!^3+p_{\overset{\,}{3}})^2\\
\end{align*}
\begin{align*}
\operatorname{Reslt}\left(\left.
\begin{matrix}
p_{\overset{\,}{2}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{3}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{4}}(u,v)
\end{matrix}
\right|\{u,v\}\right)=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
2\left({p_{\overset{\,}{2}}}\!^2-{p_{\overset{\,}{4}}}\right)^3=\left({p_{\overset{\,}{2}}}\!^3-3{p_{\overset{\,}{2}}}{p_{\overset{\,}{4}}}+2{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2\right)^2
\end{align*}

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青青子衿

4^#

发表于 2019-11-5 12:31 | 只看该作者

本帖最后由青青子衿于 2021-10-31 21:04 编辑

回复 3# 青青子衿
\begin{align*}
{p_{\overset{\,}{1}}}\!^5-5p_{\overset{\,}{1}}{p_{\overset{\,}{2}}}\!^2+4p_{\overset{\,}{5}}=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
p_{\overset{\,}{1}}(5{p_{\overset{\,}{2}}}\!^2-{p_{\overset{\,}{1}}}^4)&=4p_{\overset{\,}{5}}\\

{p_{\overset{\,}{1}}}\!^6-5{p_{\overset{\,}{1}}}\!^3p_{\overset{\,}{3}}+9p_{\overset{\,}{1}}p_{\overset{\,}{5}}-5{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
9p_{\overset{\,}{1}}({p_{\overset{\,}{1}}}^5+4p_{\overset{\,}{5}})&=5({p_{\overset{\,}{1}}}\!^3+2p_{\overset{\,}{3}})^2\\

\end{align*}

\begin{align*}
\operatorname{Reslt}\left(\left.
\begin{matrix}
p_{\overset{\,}{1}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{4}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{5}}(u,v)
\end{matrix}
\right|\{u,v\}\right)=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
10\,p_{\overset{\,}{1}}\!({p_{\overset{\,}{1}}}\!^4+p_{\overset{\,}{4}})({p_{\overset{\,}{1}}}\!^5+4p_{\overset{\,}{5}})&=(3{p_{\overset{\,}{1}}}\!^5+5p_{\overset{\,}{1}}p_{\overset{\,}{4}}+2p_{\overset{\,}{5}})^2\\
\end{align*}

\begin{gather*}
\operatorname{Reslt}\left(\left.
\begin{matrix}
p_{\overset{\,}{2}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{3}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{5}}(u,v)
\end{matrix}
\right|\{u,v\}\right)=0\\
\\
\Updownarrow
\\
\left(2{p_{\overset{\,}{2}}}\!^6-6{p_{\overset{\,}{2}}}\!^3{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2+{p_{\overset{\,}{3}}}\!^4+3{p_{\overset{\,}{2}}}\!^2p_{\overset{\,}{3}}p_{\overset{\,}{5}}\right)^2
=\left(2{p_{\overset{\,}{2}}}\!^4-3p_{\overset{\,}{2}}{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2+p_{\overset{\,}{3}}p_{\overset{\,}{5}}\right)^2\left({p_{\overset{\,}{2}}}\!^4-3p_{\overset{\,}{2}}{p_{\overset{\,}{3}}}\!^2+2p_{\overset{\,}{3}}p_{\overset{\,}{5}}\right)\\
\end{gather*}

\begin{align*}
\operatorname{Reslt}\left(\left.
\begin{matrix}
p_{\overset{\,}{2}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{4}}(u,v)\\
p_{\overset{\,}{5}}(u,v)
\end{matrix}
\right|\{u,v\}\right)=0
&&
\Longleftrightarrow
&&
2\,({p_{\overset{\,}{2}}}\!^2-p_{\overset{\,}{4}})^5&=({p_{\overset{\,}{2}}}\!^5-5p_{\overset{\,}{2}}{p_{\overset{\,}{4}}}\!^2+4{p_{\overset{\,}{5}}}\!^2)^2\\
\end{align*}

Resultant[
w^3 - (3 p^2 - 3 g q) w - (g^4 + 2 p^3 - 3 g p q),
(g^4 p - 9 p^4 + 9 g p^2 q - g^2 q^2) w^2 +
(g^4 p^2 - 18 p^5 - 2 g^5 q + 27 g p^3 q - 8 g^2 p q^2) w
+ (g^8 - 3 g^4 p^3 - 9 p^6 + 18 g p^4 q - 7 g^2 p^2 q^2), w] // Factor

复制代码

\begin{align*}
\left(\frac{35712395160200029}{1381623487557282}\right)^3-\left(\frac{34929544523572981}{1381623487557282}\right)^3=1111\\
\left(\frac{1693272787354921875037436726322925811288934706769848381345562764897}{121808484599692074676789307386825324974572390003407432853488991460}\right)^3\\
-\left(\frac{1417299684948909559481394150859055447164787454117370987293544516897}{121808484599692074676789307386825324974572390003407432853488991460}\right)^3=1111
\end{align*}

\begin{align*}
\color{black}{
\begin{aligned}
\exp\!\left(\dfrac{\>2\pi\,\!i\>}{11}\right)
&=\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33+5 \sqrt{5}\right)-\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65+19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49+15 \sqrt{5}\right)-\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25+11\sqrt{5}\right)}\right]}\\
&\qquad-\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33-5 \sqrt{5}\right)-\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65-19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49-15 \sqrt{5}\right)+\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25-11\sqrt{5}\right)}\right]}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\right)\\
&\qquad\qquad+\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33+5 \sqrt{5}\right)+\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65+19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49+15 \sqrt{5}\right)+\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25+11\sqrt{5}\right)}\right]}\left(-\frac{1-\sqrt{5}}{4}+i\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}}\right)\\
&\qquad\qquad\qquad+\dfrac{1}{5}\sqrt[5]{\frac{11}{4}\left(33-5 \sqrt{5}\right)+\frac{5}{2} \sqrt{22 \left(65-19\sqrt{5}\right)}-i\left[\frac{\sqrt{11}}{2}\left(49-15 \sqrt{5}\right)-\frac{55}{4}\sqrt{2\left(25-11\sqrt{5}\right)}\right]} \\
&\qquad\qquad\qquad\qquad-\dfrac{1-i\sqrt{11}}{10}
\end{aligned}}
\end{align*}

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hbghlyj

5^#

发表于 2021-10-23 16:46 | 只看该作者

本帖最后由 hbghlyj 于 2021-11-2 02:49 编辑

补充点计算机代数知识...$\DeclareMathOperator{\lt}{lt}$
Gröbner basis -- 维基百科似乎没有中文翻译,有点遗憾...
Gröbner基算法可以看作是计算多项式最大公约数的欧几里德算法和线性系统的高斯消元法的对于多元非线性系统的推广.
下面是Formal definition这一节的第一段的翻译
一个域上的多项式环$R$中的理想$I$关于某个单项式序的Gröbner基$G$是$I$的满足下面任一性质的生成集:

$I$中多项式的首项所产生的理想等于$G$的首项所产生的理想;
$I$中任何多项式的首项都可以被$G$中某个多项式的首项整除;
多项式环$R$中的任何多项式除以$G$的多元除法的余式唯一;
理想$I$中任何多项式除以$G$的多元除法的余式为0.

以上所有性质都是等价的.最后两个性质允许在商环$R/I$中使用与模算术相同的功能进行计算.Gröbner基的存在性是交换代数的一个重要事实,并且对于任何由有限生成集给出的理想都有效.
下面是Examples of reduction这一节的翻译
在本节的示例中,多项式具有三个不定元$x,y,z$.我们使用的单项式序是$x\succ y\succ z$的字典序(即用于比较两个单项式,首先比较$x$的指数,只有当$x$的指数相等时,才比较$y$的指数;并且仅当其他指数相等时才比较$z$的指数).为了清楚地了解约化过程,必须以降序重写多项式.例如,将$P=xy^{3}z^{5}+x^{2}y^{6}+x^{4}yz+y^{2}z^{5}+yz^{4}+y^{3}+z^{3}+xy+xz+z^{2}+z$写成$P=x^{4}yz+x^{2}y^{6}+xy^{3}z^{5}+xy+xz+y^{3}+y^{2}z^{5}+yz^{4}+z^{3}+z^{2}+z$.所以$P$的首项是$\operatorname {lm} (P)=x^{4}yz$.
考虑$f=2x^{3}-x^{2}y+y^{3}+3y$被$G=\{g_{1},g_{2}\}$约化的过程,其中$g_{1}=x^{2}+y^{2}-1,g_{2}=xy-2$.
第一步,我们约去第一项或者第二项,然而,约去某一项会以增加较低次项为代价.如果不是约去首项的话,有可能后面的约化过程中会产生已经约去的项的同次项,导致我们必须再约化一次.所以我们最好是每次都约去(对于所指定的单项式序而言的)首项.
$f$的首项$2x^{3}$被$g_{1}$整除,所以第一步是将$f$加上$g_{1}$的$-2x$倍.$$f\;{\overset {-2xg_{1}}{\longrightarrow }}\;f_{1}=f-2xg_{1}=-x^{2}y-2xy^{2}+2x+y^{3}+3y.$$因为$f_{1}$的首项$-x^{2}y$既是$g_{1}$的倍式也是$g_{2}$的倍式,我们有两种选择.如果选择$g_{2}$,我们得到一个可以再次被$g_{2}$约化的多项式:$$f\;{\overset {-2xg_{1}}{\longrightarrow }}\;f_{1}\;{\overset {xg_{2}}{\longrightarrow }}\;-2xy^{2}+y^{3}+3y\;{\overset {2yg_{2}}{\longrightarrow }}\;f_{2}=+y^{3}-y.$$更进一步的约化是不可能的.所以可以认为$f_{2}$是$f$的完全约化结果.然而,对于第二种选择我们得到不同的结果:$$f\;{\overset {-2xg_{1}}{\longrightarrow }}\;f_{1}\;{\overset {yg_{1}}{\longrightarrow }}\;-2xy^{2}+2x+2y^{3}+2y\;{\overset {2yg_{2}}{\longrightarrow }}\;f_{3}=+2x+2y^{3}-2y.$$所以,$f$的完全约化结果是$f_{2}$或$f_{3}$.
Buchberger算法就是为了解决这种“不唯一性”造成的困难的.粗略地说它将一些多项式加入$G$使得任何多项式$f$被$G$完全约化的结果唯一.
于此,Buchberger算法的第一步就是将多项式$g_{3}=yg_{1}-xg_{2}=2x+y^{3}-y$加入$G$.
的确,$f_{3}$可以被$g_{3}$进一步约化为$f_{2}$.然而,Buchberger算法还没完,因为$xy$被$g_2,g_3$完全约化的结果不唯一.
下面是Example and counterexample这一节的翻译
设$R=\mathbb {Q} [x,y]$为有理系数二元多项式环,考虑由$f(x,y)=x^{2}-y,g(x,y)=x^{3}-x$生成的理想$I=\langle f,g\rangle$.
那么$k(x,y) = −xf(x,y) + g(x,y) = xy − x,h(x,y) = xk(x,y) − (y - 1)f(x,y) = y^2 − y$也属于$I$.在$x>y$的字典序下$\lt(f) = x^2,\lt(g) = x^3,\lt(h) = y^2$(lt表示leading term,“首项”)
由$\{\lt(f),\lt(g)\}$只包含$x^2$的倍式,而不包含$\lt(h) = y^2$,故$\{f, g\}$不是$I$的Gröbner基.
另一方面,可以看出$\{f, k, h\}$是$I$的Gröbner基.
首先,$f$和$g$,与$h$,$k$以及$I$中的所有其他多项式在$(x,y)$平面上有以下三个共同零点:$\{(1,1),(−1,1),(0,0)\}$.这些点不共线,所以$I$不包含一次多项式.$I$也不包含形如$m(x,y) = cx + p(y)$的多项式(其中$c$是非零有理数,$p$是只含$y$的多项式),原因是这种$m$对于$y$的同一个值不能取两个不同的零点,此处,这两个不同的零点是(1,1)和(−1,1).
所以在$I$中,除了零多项式外只有首项≥2的多项式,所以它们的首项被下面的3个单项式中至少一个所整除:$\{x^2, xy, y^2\} = \{\lt(f),\lt(k),\lt(h)\}$.
这意味着$\{f, k, h\}$是$I$在字典序$x \succ y$下的一个Gröbner基.

256px-Parabola_and_three_vertical_lines.svg[1].png

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hbghlyj

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发表于 2022-3-19 23:34 | 只看该作者

代数方程组求解

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