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最速降线

如果考虑空气阻力,且阻力大小与速度大小有关(甚至考虑引力变化,这个有些扯蛋),那么最速降线是不是变得更“直”些?
无意中看到,很不负责提个问题,因为自己也不会
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是的,当阻力增大时,最速降线轨迹越来越平滑,阻力系数非常大时,最速降线趋于直线。

无阻力的最速降线之所以是旋轮线是因为通过合理分配重力势能和动能的转换过程,使得时间最短,虽然比起直线会增加一定运动路程。而有阻力的情况就不一样了,阻力通常表现为耗散力,使机械能减少,这个减少量与其运动路径积分相关。因此最大程度降低这种损耗,并将其中的重力势能合理转换为动能,就能达到时间最短。这样一来,运动路程越长,损耗越大,越不利于最短时间到达。因此有阻力的时候必然比没有阻力的时候的最速降线要平滑一些,当阻力大到一定程度,通过重力势能转换为动能的方式变得得不偿失,反而不是最佳选择,此时直线才是最佳选择。
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回复 1# realnumber
还是会归结到求解一个常微分方程上,改天试一试
无空气阻力的情形可以参看:
http://kuing.orzweb.net/viewthread.php?tid=4345

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