[数列] $\mod$递推

已知常数$i,j,k$为正整数，设非负整数数列$\{a_n\}$满足$a_1<k$，且$a_{n+1}=(ia_n+j) \mod k$. 求证：存在正整数$m>1$使得$a_m=a_1$.

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战巡

2^#

发表于 2019-4-18 02:19 | 只看该作者

回复 1# APPSYZY

感觉有问题
假设$i=j=k$，那么$a_{n+1}=0$对任意$n>0$成立，那只要$a_1$不为零，这就不对了
或者更一般的情况，$i \mod k=0$，$j$随意，那么$a_{n+1}=j \mod k$恒成立，只要$a_1$不为这个值，还是不对

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APPSYZY

3^#

发表于 2019-4-18 08:18 | 只看该作者

本帖最后由 APPSYZY 于 2019-4-18 08:20 编辑

回复 2# 战巡
抱歉，这道题我描述错误了，改正后是这样的：
已知常数$a,i,j,k$为正整数，设非负整数数列$\{a_n\}$满足$a_1=(ia+j) \mod k$，且$a_{n+1}=(ia_n+j) \mod k$. 求证：存在正整数$m>1$使得$a_m=a_1$.

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realnumber

4^#

发表于 2019-4-18 15:01 | 只看该作者

回复 3# APPSYZY

描述错误是什么意思啊，题目自己想的？
反例还是有
i=3,k=27,a=j=1
如此a1=4,a2=a3=a4=...=13

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