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悠闲数学娱乐论坛(第2版) » 初等数学讨论 » 两个有等长外接球半径的四面体

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发表于 2019-4-18 00:25 | 只看该作者

[几何] 两个有等长外接球半径的四面体

本帖最后由青青子衿于 2019-4-18 13:12 编辑

遇到一道题：
某四面体的每个面都是底边长为2，两腰长为根号6的等腰三角形，证明这类四面体有等长的外接球半径。
情形一：四面体ABCD各棱长如下
（底面为正三角形，侧棱相等的三棱锥）
|AB|=|AC|=|AD|=√6
|BC|=|CD|=|BD|=2
情形二：四面体ABCD各棱长如下
（仅有一对棱为相等，其他四棱等长）
|AB|=2=|CD|
|AC|=|AD|=|BC|=|BD|=√6
满足什么条件会有这样的巧合呢？

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2^#

发表于 2019-4-18 02:14 | 只看该作者

只有情形二

3^#

发表于 2019-4-18 13:12 | 只看该作者

本帖最后由青青子衿于 2019-4-18 16:31 编辑

只有情形二
乌贼发表于 2019-4-18 02:14

回复 2# 乌贼
其实我更想问的是更一般的命题
某四面体的每个面都是底边长为 a ，两腰长为 b 的等腰三角形，当a，b满足什么条件时，这类的四面体有等长的外接球半径。

4^#

发表于 2019-4-18 21:31 | 只看该作者

本帖最后由乌贼于 2019-4-18 21:33 编辑

那就算别：\[ AO^2=AE^2+OE^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{2b^2-a^2}{8}=\dfrac{2b^2+a^2}{8} \]则当$ a,b $满足\[ 2b^2+a^2=k \]（其中$ k $为正常数）时，有相同半径的外接球。

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