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[几何] 立几轨迹---双曲线

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2019-3-26 15:08
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这个很简单啊,首先投影一下变成平几问题,这时是斜坐标系,然后作个垂直,转化为直角坐标,由乘积为定值知是反比例函数,还原回斜坐标就是双勾函数,也就是双曲线。

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噢还有,准确说应该是两条双曲线,因为这里是线段之积为定值,而不是向量数量积

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主要这里要转换的东西太多,坐标法求出的方程还不是标准方程,双钩也是用Y表示X的,。。。很费时间呢

有没有几何方面思路?

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回复 4# 游客

用角平分线为轴建系就是标准方程了呗,推导也很简单。

由夹角 $60\du$ 可设 `a`, `b` 上的单位向量分别为 $\bm i=(\cos 30\du,\sin 30\du)$, $\bm j=(\cos 30\du,-\sin 30\du)$,令 $\vv{AP}=2p\bm i$, $\vv{BQ}=2q\bm j$,依题意有 $\abs{pq}=c$ 为定值,设 `AB` 的中点为 `O`,由 `M` 是中点知 $\vv{AP}+\vv{BQ}=2\vv{OM}$,即 $\vv{OM}=p\bm i+q\bm j=\bigl((p+q)\cos 30\du,(p-q)\sin 30\du\bigr)$,令 $x=(p+q)\cos 30\du$, $y=(p-q)\sin 30\du$ 解得 `p=x/\sqrt3+y`, `q=x/\sqrt3-y`,所以 `M` 的轨迹方程就是
\[\left|\frac{x^2}3-y^2\right|=c.\]
$\href{https://kuingggg.github.io/}{\text{About Me}}$

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回复 5# kuing
暂时没有想法。

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