免費論壇 繁體 | 簡體
Sclub交友聊天~加入聊天室當版主
分享
返回列表 发帖

[数论] 两个既约分数之间的分母最小的既约分数

本帖最后由 郝酒 于 2019-3-6 15:12 编辑

最近遇到了三道题
1. 数学小组中男生人数大于总人数的45%且小于50%,则此小组最少多少人?
2. 求介于$\frac{\text{147}}{\text{340}}$到$\frac{\text{29}}{\text{67}}$之间分母最小的最简分数;
3. $f(x)=\begin{cases} x, x \mbox{是无理数}\\  \frac{q+1}{p},x=\frac{q}{p},p,q\mbox{互素}\end{cases}$,求$f(x)$在$\left(\frac{7}{8},\frac{8}{9}\right)$上的最大值.

都是求两个既约分数之间的分母最小的既约分数的问题,我是按如下方法解的,感觉不严谨而且给小学生讲不清楚,想问下大大们有什么好方法。
以第一题为例
设$\frac{9}{20}<\frac{q}{p}<\frac{1}{2}$,交叉相乘得$20q>9p$,$p>2q$,要p尽可能的小,通分后的分母也尽可能的小,所以$20q-9p=1$,$p-2q=1$,解得$p=11,q=5$,得$\frac{5}{11}$.
分享到: QQ空间QQ空间 腾讯微博腾讯微博 腾讯朋友腾讯朋友

分段函数用 cases 环境输入

TOP

回复 2# kuing

好的,我还是用array输的:)

TOP

另外,在值与条件之间加 & 就会有对齐效果:
f(x)=\begin {cases}
x, & x \text{是无理数}\\
\frac{q+1}{p}, & x=\frac{q}{p},p,q\text{互素}
\end{cases}
$f(x)=\begin {cases}
x, & x \text{是无理数}\\
\frac{q+1}{p}, & x=\frac{q}{p},p,q\text{互素}
\end{cases}$

回正题,第一题沿你的设法可以这样走:
\begin{align*}
\frac9{20}<\frac qp<\frac12&\iff 2q<p<\frac{20}9q\\
&\iff 0<p-2q<\frac29q\\
&\riff p-2q\geqslant 1\land\frac29q>1\\
&\riff q\geqslant 5\land p\geqslant 2q+1\geqslant 11,
\end{align*}最后验证一下 5/11 满足条件就OK了。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

第二题:
\begin{align*}
&\frac{147}{340}<\frac qp<\frac{29}{67}\iff\frac{147}{340-2\cdot147}<\frac q{p-2q}<\frac{29}{67-2\cdot29}\\
\iff{}&\frac{147}{46}<\frac q{p-2q}<\frac{29}9\iff\frac{147-3\cdot46}{46}<\frac{q-3(p-2q)}{p-2q}<\frac{29-3\cdot9}9\\
\iff{}&\frac9{46}<\frac{7q-3p}{p-2q}<\frac29\iff\frac9{46-4\cdot9}<\frac{7q-3p}{p-2q-4(7q-3p)}<\frac2{9-4\cdot2}\\
\iff{}&\frac9{10}<\frac{7q-3p}{13p-30q}<2,
\end{align*}所以
\[\led
7q-3p&\geqslant1,\\
13p-30q&\geqslant1
\endled
\riff p\geqslant37,\]最后验证 `16/37` 满足。

上面的变形其实相当于将 `\frac{147}{340}<\frac qp<\frac{29}{67}` 变成
\[\dfrac1{2+\dfrac1{3+\dfrac1{4+\dfrac1{\dfrac9{10}}}}}<\dfrac1{2+\dfrac1{3+\dfrac1{4+\dfrac1{\dfrac{7q-3p}{13p-30q}}}}}<\dfrac1{2+\dfrac1{3+\dfrac1{4+\dfrac12}}},\]还是玩上了连分数……
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

TOP

回复 5# kuing

难得写这么细,难道楼主是个MM或……

TOP

回复 6# isee

nonono,主要是自己这方面太弱,也是相当于写给自己。

TOP

回复 7# kuing


其实具体过程就是辗转相除,解决2这种题,从何版处学来的连分数极受用。

哈哈,巧了,也有何版,,,睡觉了,,,先

TOP

回复 8# isee

可是第3题我还是不知怎么做……

把 f(x) 画了一下,挺有趣嘀,下图为 `x\in(0,1)` 的有理数且分母不超过 100 的 `f(x)` 的点集:
QQ截图20190307144144.png
2019-3-7 14:43
  1. f[n_] := Table[{FareySequence[n, k], (Numerator[FareySequence[n, k]] + 1)/Denominator[FareySequence[n, k]]}, {k, 2, Length[FareySequence[n]] - 1}]
  2. ListPlot[f[100]]
复制代码

TOP

回复 9# kuing

擦,原来是我想复杂了,其实非常简单,根本不需要上面扯的那些东西。

当 `x=q/p\in(7/8,8/9)` 时,设 `p=q+k`,则由 `7/8<q/(q+k)<8/9` 解得 `7k<q<8k`,所以必须 `k\geqslant2` 且 `7k+1\leqslant q\leqslant8k-1`,故
\[f(x)=\frac{q+1}{q+k}\leqslant\frac{8k}{9k-1}\leqslant\frac{8\cdot2}{9\cdot2-1}=\frac{16}{17},\]当 `x=15/17` 时取等。

而当 `x` 为无理数时显然 `f(x)` 小于此值,所以最大值就是 `16/17`。

TOP

我说啦这三个题目是同意类型的: )

TOP

无标题2.png
2019-3-8 16:08

TOP

返回列表 回复 发帖