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» 一道反三角函数瑕积分
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发表于 2019-3-5 20:44
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只看该作者
一道反三角函数瑕积分
本帖最后由 青青子衿 于 2019-3-5 22:22 编辑
\begin{align*}
{\large\int}_0^1\frac{\arctan\left(x\right)\arcsin\left(x\right)}{x^2}\mathrm{d}x \\
{\large\int}_0^1\frac{\arctan\left(\frac{x}{2}\right)\arcsin\left(x\right)}{x^2}\mathrm{d}x
\end{align*}
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Czhang271828
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Czhang271828
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发表于 2021-1-13 15:54
|
只看该作者
本帖最后由 Czhang271828 于 2021-1-13 15:58 编辑
试了试推广:求积分$\displaystyle{\int_0^1\dfrac{\arctan(kx)\arcsin x}{x^2}\mathrm dx}$
记积分为$I(k)$,则
\begin{align*}
I'(k)=&\int_0^1\dfrac{\arcsin x}{x(1+k^2x^2)}\mathrm dx\\
=&\int_0^1\dfrac{\arcsin x}{x}\mathrm dx-\int_0^1\dfrac{k^2x\arcsin x}{(1+k^2x^2)}\mathrm dx\\
=&\dfrac{\pi\log 2}{2}-\int_0^1\dfrac{k^2x\arcsin x}{(1+k^2x^2)}\mathrm dx\\
=&\dfrac{\pi\log 2}{2}-\dfrac{1}{2}\arcsin x\log(1+k^2x^2)|_0^1+\dfrac{1}{2}\int_0^1\dfrac{\log(1+k^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\
=&\dfrac{\pi\log 2}{2}-\dfrac{\pi\log(1+k^2)}{4}+\dfrac{1}{2}\int_0^1\dfrac{\log(1+k^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx
\end{align*}
记积分$\displaystyle{J(k)=\dfrac{1}{2}\int_0^1\dfrac{\log(1+k^2x^2)}{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx}$,求导得
\begin{align*}
J'(k)=&\int_0^1\dfrac{x^2k}{(1+k^2x^2)\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx\\
=&\int_0^{\pi/2}\dfrac{k\sin^2 t}{1+k^2\sin^2t}\mathrm dt\\
=&\dfrac{\pi}{2k}-\dfrac{1}{k}\int_0^{\pi/2}\dfrac{\mathrm dt}{1+k^2\sin^2t}\\
=&\dfrac{\pi}{2k}-\dfrac{1}{k\sqrt{1+k^2}}\int_0^{\pi/2}\dfrac{\mathrm d\sqrt{1+k^2}\tan{t}}{1+(1+k^2)\tan^2 t}\\
=&\dfrac{\pi}{2}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k\sqrt{1+k^2}}\right)
\end{align*}
因此$\int J'(k)=\dfrac{\pi}{2}(\log k+\coth^{-1}\sqrt{1+k^2})+C=\dfrac{\pi}{2}\log(\sqrt{k^2+1}+1)+C$。
再由$J(0)=0$得$J(k)=\dfrac{\pi}{2}(\log(\sqrt{k^2+1}+1)-\log 2)$。因此求得$I'(k)=\dfrac{\pi}{2}\log\dfrac{\sqrt{k^2+1}+1}{\sqrt{k^2+1}}$,故
\[
I(k)=\dfrac{\pi}{2}\left(k\log\dfrac{\sqrt{k^2+1}+1}{\sqrt{k^2+1}}-\arctan(k)+\sinh^{-1}(k)\right)
\]
***
计算得
\begin{align*}
&\int_0^1\dfrac{\arctan x\arcsin x}{x^2}\mathrm dx=-\dfrac{\pi}{8}\left(\pi-4\log\left(2+\dfrac{3}{\sqrt 2}\right)\right)\\
&\int_0^1\dfrac{\arctan (x/2)\arcsin x}{x^2}\mathrm dx=\cdots\\
\end{align*}
1
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青青子衿:
漂亮!精彩!
威望 + 3
无钱佮歹看、无样佮歹生、无汉草佮无文采、无学历佮无能力、无高度无速度无力度共闲无代记。(闽南话)
口号:珍爱生命,远离内卷。
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