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[几何] 两个平面的交线应该怎么作?请专家支招

本帖最后由 走走看看 于 2019-2-28 10:38 编辑

https://www.zybang.com/question/ ... 7f38ed945aed49.html
已知点M、N、K分别为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB、B1C1、DD1的中点,在正方体的所有面对角线和体对角线所在的直线中,与平面MNK平行的条数为(  )
A. 6条
B. 7条
C. 8条
D. 9条
pmjx.jpg
2019-2-27 21:58


我的问题是,链接中的图片似乎想告诉我们,怎么作出MNK平面与正方体各面的交线。
到底如何作出E、F、G的?看了半天,没看出来。
如何画出平面MNK与BCC1B1的交点E呢?
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回复 1# 走走看看


    过K作平行于上下底面的中截面,一定和B1B交于中点E。那如何能说明E就在KMN上呢?

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本帖最后由 走走看看 于 2019-2-28 12:04 编辑

小猿搜题有个视频讲解,但至少要花25元钱订购一个月。一个号码一个月可以免费看3次完整视频,不过我用完了。

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E、F、G是正方体棱的中点,和M、N、K共六点构成正六边形,(这个很容易证明)
三个不共线的点确定一个平面,所以正六边形所在面和面MNK是同一个面.

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一般情形:长方体,三点在三异面棱上的截面作法(不一定最简单,不过我第一反应就是这样想的):
长方体异面棱三点作截面.gif
2019-2-28 17:53


楼主的题为特殊情形,因为三个都是中点,此时上图中在 E 之前作的那个点刚好就在棱中点上,也就是与 E 重合。如下图所示
QQ截图20190228164251.png
2019-2-28 16:43
1

评分人数

    • realnumber: 最好有个显示图片速度选项,有没有? ...威望 + 1
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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回复上面@realnumber的点评:
没有,如果你想慢慢看清楚每一帧,可以下载图片,再找一个能编辑GIF的软件(网上搜一下很多)打开逐帧看。

PS、像这种可能还需要回复的点评应使用正常的回帖,一方面我无法直接引用点评内容,另一方面没有提醒。

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嘛,果然第一反应还是笨了,更简单的作法如下:
长方体异面棱三点作截面2.gif
2019-2-28 18:18
静态图:
QQ截图20190228222407.png
2019-2-28 22:24

这样就作出了 E,接下来和上面的一样即可作 F、G。
冇钱又冇样、冇型又冇款、冇身材又冇文采、冇学历又冇能力、冇高度冇速度冇力度兼夹冇野做!(粤语)
口号:珍爱生命,远离考试。

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谢谢两位专家!
特别是Kuing大师用动画给出了作图的动态过程,且动画作得漂亮。

不过,要证明E就是中点,好像不太容易。

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回复 8# 走走看看

用5#的图就可以看出中点啊

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嘛,果然第一反应还是笨了,更简单的作法如下:

这样就作出了 E,接下来和上面的一样即可作 F、G。 ...
kuing 发表于 2019-2-28 18:11


搞个静态的,动图看着眼睛疼。。。。。thx

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学习了!好贴好画法。

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易知$ \triangle MNK $为等边三角形且其内心$ O $即为正方体中心,正方形$ ABCD $及$ ADD_1A_1 $的中心$ Q,L $,直线$ AD $的中点$ P $和点$ O $为一正方形且$ MK $与该正方形的交点即为$ MK $的中点$ E $,有$ O,E,P $三点共线,又$ N,O,E $三点共线,所以$ N,O,E,P $四点共线,同理……
211.png
2019-3-4 00:51

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本帖最后由 业余的业余 于 2019-3-4 01:06 编辑



回复 12# 乌贼

kuing 在第 7 楼的画法更一般,适用于长方体,甚至平行六面体(或许可推到更广泛但仍有一定特殊性的立体图形,比如4面两两平行另两面不平行的六面体---这里是猜测,或许可以更宽,或许要更窄)中不共面的三条棱上各任取一点的情形。利用了平行的两直线(线段)必共面这一结论,找到了关键点 $E$, 其它就迎刃而解了。这个画法可用于解决一系列的类似问题,很有掌握的价值。

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把图补全,延长$ CB $至$ P $使$ CB=2BP $,作正方形$ CPQE $及正方体$ CPQE-C_2P_1Q_1E_1 $,连接$ C_2P,PE,EC_2 $,$ M $即为$ AB $与$ PE $的交点,$ K $即为$ DD_1 $与$ C_2E $的交点,$ N $即为$ C_1B_1 $与$ PC_2 $的交点。
212.png
2019-3-4 01:38

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本帖最后由 游客 于 2019-3-5 15:30 编辑
嘛,果然第一反应还是笨了,更简单的作法如下:
静态图:
这样就作出了 E,接下来和上面的一样即可作 F、G ...
kuing 发表于 2019-2-28 18:11


两个不同平面的公共点的集合是一条直线,两平行平面与第三个平面的交线互相平行,两平行线确定一个平面。

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