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[几何] 平面向量的模最值

两平面单位向量e1,e2,其夹角为60°,平面向量C满足:|ce1|+|ce2|$\leqslant $1(e1,e2,c均为向量),则向量C的模最大值?(寻求用不等式方法或图形解决?)
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参照2016浙江数学高考卷填空题。

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回复 2# 游客

嗯,我也想起来了
顺便帮你给个链接吧:http://kuing.orzweb.net/redirect ... =4964&pid=23757

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学习一下链接中游客的解法:

设 `\bm e_3=\bm e_1+\bm e_2`, `\bm e_4=\bm e_1-\bm e_2`,由于 `\bm e_1`, `\bm e_2` 是夹角为 $60\du$ 的单位向量,所以 $\abs{\bm e_3}=\sqrt3$, $\abs{\bm e_4}=1$ 且 `\bm e_3\cdot\bm e_4=0`,而
\[
\abs{\bm c\cdot\bm e_1}+\abs{\bm c\cdot\bm e_2}
=\max\{\abs{\bm c\cdot\bm e_1+\bm c\cdot\bm e_2},
\abs{\bm c\cdot\bm e_1-\bm c\cdot\bm e_2}\}
=\max\{\abs{\bm c\cdot\bm e_3},\abs{\bm c\cdot\bm e_4}\},
\]
右边不得超过 `1`,故此 `\bm c` 在 `\bm e_3` 上的投影长度不超过 `1/\sqrt3` 且在 `\bm e_4` 上的投影长度不超过 `1`,所以其模长的最大值就是 `\sqrt{\bigl(1/\sqrt3\bigr)^2+1^2}=2/\sqrt3`。

图示如下,即 `\bm c` 的终点在矩形内(含边):
QQ截图20190116165602.png
2019-1-16 16:56

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或者换个写法,其实也没什么本质区别:
不妨设 $\bm e_1=(\cos30\du,\sin30\du)$, $\bm e_2=(\cos30\du,-\sin30\du)$, $\bm c=(x,y)$,则依题意有
\begin{align*}
1\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1}+\abs{\bm c\cdot\bm e_2}\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1+\bm c\cdot\bm e_2}=2\abs x\cos30\du&\riff\abs x\leqslant\frac1{\sqrt3},\\
1\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1}+\abs{\bm c\cdot\bm e_2}\geqslant\abs{\bm c\cdot\bm e_1-\bm c\cdot\bm e_2}=2\abs y\sin30\du&\riff\abs y\leqslant1,
\end{align*}
所以
\[
\abs{\bm c}=\sqrt{x^2+y^2}\leqslant\sqrt{\frac13+1}=\frac2{\sqrt3}.
\]

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回复 4# kuing

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无标题.png
2019-1-17 12:24

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回复 8# 游客
好办法!可以直接设u=m+n,v=m-n,免得开始那个设,有点力度过大。那个链接里的不等式处理牛!哈哈,竟然忘记。

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