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[数论] 妙解藏"喵腻"

本帖最后由 力工 于 2019-1-9 16:52 编辑

求使$2^8+2^{11}+2^n$为平方数的自然数$n$.
有人解这道题这样妙解的:设$2^4=x$,则问题为关于$x$的三项式$x^2+2^7x+2^n$有整数解,
所以,它的判别式$Δ=(2^7)^2-4×2^n=0,n=12$.
让Ta设$2^5=x$,如法炮制,哑火了。
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回复 1# 力工

这跟换元没太多关系,直接设$$2^8+2^{11}+2^n=\left(2^4+2^k\right)^2.$$

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记 `A=x^2+px+q`(各字母均为整数),若 `p^2-4q=0`,则 `2\mid p`,此时 `A=(x+p/2)^2`,
即:$p^2-4q=0\riff A$ 为平方数。但是反之则不然,比如说 `1^2+1\times1+2` 是平方数,但 `1^2-4\times2<0`。

也就是说,对于首一二次三项式,判别式为零是判断平方数的一个充分但不必要条件,
因此 1# 的解法虽然能快速找到一个符合条件的 `n`,但会不会有漏解,还不知道。
当然,题目好像也没有要求所有解,也就罢了。

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回复 3# kuing


还是你“狠”,至少是针对主楼说的。

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至于为什么设 `2^5=x` 不行,是因为这时式子变成 `2x^2+2^3x+2^n`,首项系数不是平方数,所以即使判别式为零也不能得出它是平方数。

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回复 4# isee

因为我一看这解法当时也一头雾水,也是细想了下才搞明白了。

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$$2^8+2^{11}+2^n=48^2+2^n=y^2$$
$$(y-48)(y+48)=2^n$$

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1.png
2019-1-9 16:44

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回复 8# hejoseph


原来是数论~

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本帖最后由 力工 于 2019-1-9 20:01 编辑

回复 2# isee
感谢各路大神各方位指点!

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本帖最后由 睡神 于 2019-1-10 13:10 编辑

回复 1# 力工

$2^8+2^{11}+2^n=2^8*(1+2*1*2^2+2^{11-n})$
$11-n=4$
$n=12$

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