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[几何] 求四面体体积的最大值。

已知在四面体A-BCD中,AD=DB=AC=CB=1,求此四面体的体积最大值。
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很简单啊,显然一定是两等腰三角形垂直时最大,于是设 `AB=2x` 得 `V\le x(1-x^2)/3\le2\sqrt3/27`。

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本帖最后由 业余的业余 于 2018-12-28 00:24 编辑

回复 1# lemondian

不妨设 $\angle ABC=\alpha,$ 二面角 $C-AB-D$ 为 $\beta$, 则 $S_{\triangle ABC}=\sin \alpha \cos \left(\cfrac \alpha 2\right)$, D 到 平面 $ABC$ 的距离 $\sin \alpha \sin\beta$

$V= \cfrac 13 \sin^2 \alpha \cos \alpha \sin \beta$

显然 最大值在 $\beta=90^\circ$ 时取得,此时

$V(\alpha)= \cfrac 13 \sin^2 \alpha \cos \alpha= \cfrac 13(1-\cos^2  \alpha )\cos\alpha $

令 $x= \cos\alpha$, 则 $V(x)=\cfrac 13(x-x^3), x\in(0,1)$

求导,已知唯一有效的驻点是 $x^2=\frac 13$, 根据问题的性质已知此为最大值点,代入得 $V_{max}=\cfrac {2\sqrt{3}}{27}$

kuing直接设边, 少走了很多路 :(

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回复 3# 业余的业余
嗯,谢谢了!
求最值好象可以用均值不等式的。

不知是否还有其它方法?

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回复 2# kuing
就是怎么想到这个:显然。。。
这个是关键呀

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回复 5# lemondian

你想象一下图形啊,把AB固定然后把二面角张合一下不就知道了

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回复 6# kuing
对的,开始弄时,主要是可变的东西多,有点乱

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回复 3# 业余的业余
与实际想象的图像直观解法一致,两变量独立!

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看来楼主广州的,这是广州12月调研第16题。

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回复 4# lemondian

不等式这块我比较弱。这是个 $a,b>0, a^2+b=1$, 求 $ab$ 最值的问题。我一直在想 kuing 是怎么用不等式直接求解的。撸题集看了一阵,难度蛮大,欠账太多。

想明白了: $a^2+b=a^2+\frac b2+\frac b2\geqslant 3\sqrt[3]{a^2b^4/4}$.

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